已知函數(shù)()
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在處取得極值,不等式對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),證明不等式 .
(1)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;(2);(3)見解析
解析試題分析:(1)求導(dǎo)數(shù),對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論,當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí),得到增區(qū)間,導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)得到減區(qū)間。(2)含參數(shù)不等式恒成立問題,一般要把要求參數(shù)分離出來,然后討論分離后剩下部分的最值即可。討論最值的時(shí)候要利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性。(3)證明不等式可以有很多方法,但本題中要利用(1)(2)的結(jié)論。構(gòu)造函數(shù),然后利用函數(shù)單調(diào)性給予證明。
試題解析:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6f/2/1wekq3.png" style="vertical-align:middle;" />, 1分
當(dāng)時(shí),,從而,故函數(shù)在上單調(diào)遞減 3分
當(dāng)時(shí),若,則,從而,
若,則,從而,
故函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增; 5分
(2)由(1)得函數(shù)的極值點(diǎn)是,故 6分
所以,即,
由于,即. 7分
令,則
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),
∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增; 9分
故,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為 10分
(3)不等式 11分
構(gòu)造函數(shù),則,
在上恒成立,即函數(shù)在上單調(diào)遞增, 13分
由于,所以,得
故 14分
考點(diǎn):1、多項(xiàng)式函數(shù)求導(dǎo);2、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,最值以及證明不等式的綜合應(yīng)用。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)().
(1)當(dāng)時(shí),求的圖象在處的切線方程;
(2)若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),且,求證:(其中是的導(dǎo)函數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知在與處都取得極值.
(1)求,的值;
(2)設(shè)函數(shù),若對(duì)任意的,總存在,使得、,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知定義在R上的函數(shù)f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R),函數(shù)F(x)=f(x)-3x2是奇函數(shù),函數(shù)f(x)滿足.
(1)求f(x)的解析式;
(2)討論f(x)在區(qū)間(-3,3)上的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),
(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若在區(qū)間上的最大值為20,求它在該區(qū)間上的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知是的導(dǎo)函數(shù),,且函數(shù)的圖象過點(diǎn).
(1)求函數(shù)的表達(dá)式;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)在上為增函數(shù),,
(1)求的值;
(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(3)若在上至少存在一個(gè),使得成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知f(x)=ex-t(x+1).
(1)若f(x)≥0對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立,求t的取值范圍;
(2)設(shè),且A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1≠x2)是曲線y=g(x)上任意兩點(diǎn),若對(duì)任意的t≤-1,直線AB的斜率恒大于常數(shù)m,求m的取值范圍;
(3)求證:(n∈N*).
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