已知函數(shù),在x=1處取得極值為2.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(m,2m+1)上為增函數(shù),求實數(shù)m的取值范圍;
(Ⅲ)若直線l與圖象相切于點P(x,y),求直線l的斜率的取值范圍.
【答案】分析:(Ⅰ)先由已知函數(shù)求其導數(shù),再根據(jù)函數(shù)f(x)在x=1處取得極值2,列出關于a,b的方程即可求得函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)先由f′(x)>0,得f(x)的單調增區(qū)間為(-1,1).再根據(jù)函數(shù)f(x)在(m,2m+1)上單調遞增,列出關于m的不等關系解之即得;
(Ⅲ)根據(jù)導數(shù)和幾何意義直線l的斜率的表達式,再利用二次函數(shù)的最值的求法即可求得直線l的斜率k的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)已知函數(shù),∴.(2分)
又函數(shù)f(x)在x=1處取得極值2,
.(4分)
(Ⅱ)∵
由f′(x)>0,得4-4x2>0,即-1<x<1,
所以的單調增區(qū)間為(-1,1).(6分)
因函數(shù)f(x)在(m,2m+1)上單調遞增,則有解得-1<m≤0,
即m∈(-1,0]時,函數(shù)f(x)在(m,2m+1)上為增函數(shù).(9分)
(Ⅲ)∵
∴直線l的斜率為(11分)
,則直線l的斜率k=4(2t2-t)(t∈(0,1)
,即直線l的斜率k的取值范圍是(14分)
[或者由k=f(x)轉化為關于x2的方程,根據(jù)該方程有非負根求解].
點評:本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、函數(shù)解析式的求解及常用方法、直線的斜率等基礎知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想.屬于中檔題.
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