已知函數(shù)φ(x)=log
1
2
x與函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，若g（a）g（b）=2，且a＜0，b＜0，則
4
a
+
1
b
的最大值為
-9
-9
．
分析：依題意可求得g（x）=(
1
2
)x，于是有a+b=-1，利用基本不等式即可求得答案．
解答：解：∵φ（x）=log
1
2
x與函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，
∴φ（x）=log
1
2
x與函數(shù)g（x）互為反函數(shù)，
∴g（x）=(
1
2
)x，
∵g（a）g（b）=2，
∴(
1
2
)a•(
1
2
)b=(
1
2
)a+b=2，
∴a+b=-1，又a＜0，b＜0，
∴
4
a
+
1
b
=-（
4
a
+
1
b
）（a+b）=-（4+
4b
a
+
a
b
+1）
依題意，
4b
a
+
a
b
≥2
4b
a
•
a
b
=4，
∴-（
4b
a
+
a
b
）≤-4，
∴-（4+
4b
a
+
a
b
+1）≤-9．
故答案為：-9．
點(diǎn)評(píng)：本題考查反函數(shù)與基本不等式的應(yīng)用，求得a+b=-1是關(guān)鍵，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x2+1x-1
，其圖象在點(diǎn)（0，-1）處的切線為l．
（I）求l的方程；
（II）求與l平行的切線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+ax•2+bx+c，曲線y=f（x）在點(diǎn)x=1處的切線l不過(guò)第四象限且斜率為3，又坐標(biāo)原點(diǎn)到切線l的距離為
10
10
．若x=
2
3
時(shí)，y=f（x）有極值．
（1）求a、b、c的值；
（2）設(shè)g（x）=x3+k+8lnx，若關(guān)于x的方程f（x）=g（x）在[1，e]內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
5+2x
16-8x
，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a1=l，an+1=f（an）．
（I）寫(xiě)出a2，a3的值；
（Ⅱ）試比較an與
5
4
的大小，并說(shuō)明理由；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=
5
4
-an，記Sn=
n
i=1
bi．證明：當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＜
1
4
（2n-1）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
ax3+x2-x，a∈R
（1）若函數(shù) 在x=1處的切線l與直線y=4x+3平行，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，設(shè)函數(shù)g(x)=|f(x)-x2+x-1|+
1
3
x，若方程g（x）-m=0在區(qū)間[-2，2]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（09年濰坊一模文）(12分)

    定義在[-1，1]上的奇函數(shù)f(x)，已知當(dāng)x∈[-l，0]時(shí)，．

    (I)寫(xiě)出f(x)在[0，1]上的解析式；

    (1I)求f(x)在[0，1]上的最大值；

  (Ⅲ)若f(x)是[0，1]上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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