某小區(qū)想利用一矩形空地建市民健身廣場(chǎng),設(shè)計(jì)時(shí)決定保留空地邊上的一水塘(如圖中陰影部分),水塘可近似看作一個(gè)等腰直角三角形,其中,,且中,,經(jīng)測(cè)量得到.為保證安全同時(shí)考慮美觀(guān),健身廣場(chǎng)周?chē)鷾?zhǔn)備加設(shè)一個(gè)保護(hù)欄.設(shè)計(jì)時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)作一直線(xiàn)交于,從而得到五邊形的市民健身廣場(chǎng),設(shè).
(1)將五邊形的面積表示為的函數(shù);
(2)當(dāng)為何值時(shí),市民健身廣場(chǎng)的面積最大?并求出最大面積.
(1);(2)當(dāng)時(shí),到的市民健身廣場(chǎng)面積最大,最大面積為.
解析試題分析:(1)根據(jù)題意分析可考慮作,垂足為,從而可將五邊形的面積轉(zhuǎn)化為梯形與矩形的面積之和,由∽結(jié)合條件,可將梯形的上底,下底與高以及矩形的長(zhǎng)和寬都用含的代數(shù)式表示出來(lái),從而可得:,再由,可得;(2)由(1)及條件可知,問(wèn)題就等價(jià)于求函數(shù)在上的最大值,而將其變形后可得:
,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),“=”成立,從而當(dāng)時(shí),到的市民健身廣場(chǎng)面積最大,最大面積為.
試題解析:(1)如圖,作,垂足為,
∵,∴,又由∽,∴,
∵,∴, 2分
過(guò)作交于,
則,
所以, 7分
由于與重合時(shí),適合條件,故; 8分
(2)由(1)得:, 10分
∴當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取得最大值, 13分
即當(dāng)時(shí),得到的市民健身廣場(chǎng)面積最大,最大面積為. 14分
考點(diǎn):1.函數(shù)的運(yùn)用;2.基本不等式求最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)(,),.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并確定其零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(2)若在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增,求的取值范圍;
(3)證明不等式 ().
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/83/8/1kueu4.png" style="vertical-align:middle;" />,.
(1)求集合;
(2)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知定義在上的三個(gè)函數(shù),,,且在處取得極值.
(1)求a的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(2)求證:當(dāng)時(shí),恒有成立.[來(lái)源
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)是上的增函數(shù),
(1)若,且,求證
(2)判斷(1)中命題的逆命題是否成立,并證明你的結(jié)論。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù),(1) 若的解集是,求實(shí)數(shù)的值;(2) 若且恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0,又f(1)=-2.
(1)判斷f(x)的奇偶性;
(2)求證:f(x)是R上的減函數(shù);
(3)求f(x)在區(qū)間[-3,3]上的值域;
(4)若?x∈R,不等式f(ax2)-2f(x)<f(x)+4恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,把邊長(zhǎng)為10的正六邊形紙板剪去相同的六個(gè)角,做成一個(gè)底面為正六邊形的無(wú)蓋六棱柱盒子,設(shè)其高為h,體積為V(不計(jì)接縫).
(1)求出體積V與高h(yuǎn)的函數(shù)關(guān)系式并指出其定義域;
(2)問(wèn)當(dāng)為多少時(shí),體積V最大?最大值是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
已知函數(shù)f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9x-6x+2,其中x∈R,a,b為常數(shù),則方程f(ax+b)=0的解集為
。
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