Question

如圖，公園有一塊邊長為2的等邊△ABC的邊角地，現(xiàn)修成草坪，圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上．
（1）設(shè)AD=x（x≥0），ED=y，求用x表示y的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如果DE是灌溉水管，為節(jié)約成本，希望它最短，DE的位置應(yīng)在哪里？如果DE是參觀線路，則希望它最長，DE的位置又應(yīng)在哪里？請予證明．

Answer 1

解（1）在△ADE中，y²=x²+AE²﹣2xAEcos60°y²=x²+AE²﹣xAE，①
又S_△ADE=S_△ABC=×2²=xAEsin60°xAE=2．②
②代入①得y²=x²+﹣2（y＞0），
∴y=（1≤x≤2）；
（2）如果DE是水管y= ≥ ，
當(dāng)且僅當(dāng)x²=，即x=時“=”成立，故DE∥BC，且DE=．
如果DE是參觀線路，記f（x）=x²+， 可知函數(shù)在[1，]上遞減，在[，2]上遞增，
故f（x）_max=f（1）=f（2）=5．
∴y_max=．
即DE為AB中線或AC中線時，DE最長．