Question

若函數(shù)f（x）=1-2a-2acosx-2sin²x的最小值為a的函數(shù)，記為g（a）．
（1）寫出g（a）的表達(dá)式；
（2）求能使g（a）=

1

2

的a的值，并求出a取此值時(shí)，f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）先對函數(shù)解析式進(jìn)行配方，討論對稱軸與區(qū)間[-1，1]的位置關(guān)系，從而求出函數(shù)的最小值，即可求出g（a）的表達(dá)式；
（2）若g（a）=

1

2

，則g（a）只能在〔-2，2〕內(nèi)解方程，從而求出a的值，并求出此時(shí)的最大值．

解答：解：（1）∵f（x）=2（cosx-

a

2

）²-

1

2

a²-2a-1
∴g（a）=

1-4a    a＞2 - 1 2 a2-2a-1      -2≤a≤2 1                   a＜-2

（2）若g（a）=

1

2

，則g（a）只能在〔-2，2〕內(nèi)解方程-

1

2

a²-2a-1=

1

2

得a=-1或a=-3，
∴a=-1
此時(shí)f（x）=2（cosx+

1

2

）²+

1

2

，當(dāng)cosx=1時(shí)，f（x）有最大值5

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)的最值，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．