已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-x2-3x,g(x)=ax2-3x+b,(a,b∈R,且a≠0,b≠0).滿足f(x)與g(x)的圖象在x=x0處有相同的切線l.
(I)若a=
1
2
,求切線l的方程;
(II)已知m<x0<n,記切線l的方程為:y=k(x),當(dāng)x∈(m,n)且x≠x0時(shí),總有[f(x)-k(x)]•[g(x)-k(x)]>0,則稱f(x)與g(x)在區(qū)間(m,n)上“內(nèi)切”,若f(x)與g(x)在區(qū)間(-3,5)上“內(nèi)切”,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解
(2)根據(jù)題目的定義,由函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(-3,5)上內(nèi)切,可轉(zhuǎn)化為f(x)-k(x)>0恒成立,轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問題即可求解
解答:解(I)當(dāng)a=
1
2
時(shí),f′(x)=x2-2x-3,g′(x)=2ax-3=x-3
由f(x)與g(x)的圖象在x=x0處有相同的切線l可得,x02-2x0 -3=2ax0-3=x0-3
∴x0=0或x0=3(3分)
當(dāng)x0=0時(shí),y0=0,此時(shí)b=0,切線的斜率k=-3,直線方程為y=-3x不是曲線的公共切線,(舍去)
當(dāng)x0=3時(shí),y0=-9,此時(shí)b=-
9
2
,切線的斜率k=0,切線方程y=-9
∴所求的切線方程為y=-9(6分)
(II)∵a>0,k(x)=g′(x0)(x-x0)+g(x0
∴g(x)-k(x)=g(x)-g′(x)(x-x0)-g(x0)=a(x-x0)2>0(9分)
∵f(x)與g(x)在區(qū)間(-3,5)上“內(nèi)切”,
∴f(x)-k(x)>0
∴f(x)-k(x)=f(x)-f′(x0)(x-x0)-f(x0
=
1
3
(x-x0)2(x+2x0-3)=
1
3
(x-2a-2)2(x+4a+1)>0(12分)
∴x>-4a-1對(duì)任意x∈(-3,5)恒成立,則-4a-1≤-3
a≥
1
2

∵-3<2a+2<5
1
2
≤a<
3
2
(15分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,及函數(shù)的恒成立問題的轉(zhuǎn)化的應(yīng)用,還考查了一定的計(jì)算能力
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已知函數(shù)f(x)=
1
|x|
,g(x)=1+
x+|x|
2
,若f(x)>g(x),則實(shí)數(shù)x的取值范圍是( 。
A、(-∞,-1)∪(0,1)
B、(-∞,-1)∪(0,
-1+
5
2
)
C、(-1,0)∪(
-1+
5
2
,+∞)
D、(-1,0)∪(0,
-1+
5
2
)

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已知函數(shù)f(x)=
1,x∈Q
0,x∉Q
,則f[f(π)]=(  )

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1-x
ax
+lnx(a>0)

(1)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)在[
1
2
,2
]上的最大值和最小值;
(3)當(dāng)a=1時(shí),求證對(duì)任意大于1的正整數(shù)n,lnn>
1
2
+
1
3
+
1
4
+
+
1
n
恒成立.

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已知函數(shù)f(x)=1+cos2x-2sin2(x-
π
6
),其中x∈R,則下列結(jié)論中正確的是(  )

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