Question

（2013•鹽城一模）已知函數(shù)f（x）=

1-(x-1)2 ，0≤x＜2 f(x-2)，          x≥2

，若關(guān)于x的方程f（x）=kx（k＞0）有且僅有四個(gè)根，其最大根為t，則函數(shù)g（t）=

25

24

t2-6t+7的值域?yàn)?!--BA-->

[-

41

25

，-1）

．

Answer 1

分析：同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=kx，因?yàn)閮蓤D象有且僅有四個(gè)公共點(diǎn)，得出最大根t的取值范圍．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到函數(shù)g（t）=

25

24

t2-6t+7的值域．

解答：解：作出函數(shù)f（x）=

1-(x-1)2 ，0≤x＜2 f(x-2)，          x≥2

，當(dāng)0≤x＜4時(shí)的圖象，如右圖中紅色的三個(gè)半圓．
將直線y=kx圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，可得當(dāng)直線介于與第二個(gè)半圓相切和與第三個(gè)半圓相切之間時(shí)，兩圖象有且僅有四個(gè)不同的公共點(diǎn)，
此時(shí)，其最大根t∈（

8

3

，

72+8 6

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），
則函數(shù)g（t）=

25

24

t2-6t+7，t∈（

8

3

，

72+8 6

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）的值域?yàn)閇-

41

25

，-1）．
故答案為：[-

41

25

，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題以分段函數(shù)為例，求方程的最大根，并且用這個(gè)根來求值域，著重考查了函數(shù)與方程的關(guān)系，以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．