Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓＝1的左、右頂點為A、B，右焦點為F.設過點T(t，m)的直線TA、TB與橢圓分別交于點M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，其中m>0，y₁>0，y₂<0.

(1)設動點P滿足PF²－PB²＝4，求點P的軌跡；
(2)設x₁＝2，x₂＝，求點T的坐標；
(3)設t＝9，求證：直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與m無關)．

Answer 1

（1）x＝（2）（3）見解析

(1)解：設點P(x，y)，則F(2，0)、B(3，0)、A(－3，0)．由PF²－PB²＝4，得(x－2)²＋y²－[(x－3)²＋y²]＝4，化簡得x＝，故所求點P的軌跡為直線x＝.
(2)解：將x₁＝2，x₂＝分別代入橢圓方程，以及y₁>0，y₂<0得M、N.直線MTA的方程為，即y＝x＋1.直線NTB的方程為，即y＝x－.聯(lián)立方程組，解得所以點T的坐標為.
(3)證明：點T的坐標為(9，m)，直線MTA的方程為，即y＝(x＋3)．直線NTB的方程為，即y＝(x－3)．
分別與橢圓＝1聯(lián)立方程組，同時考慮到x₁≠－3，x₂≠3，解得
M、N
(證法1)當x₁≠x₂時，直線MN的方程為，令y＝0，解得x＝1，此時必過點D(1，0)；當x₁＝x₂時，直線MN的方程為x＝1，與x軸交點為D(1，0)，所以直線MN必過x軸上的一定點D(1，0)．
(證法2)若x₁＝x₂，則由及m>0，得m＝2，此時直線MN的方程為x＝1，

過點D(1，0)．若x₁≠x₂，則m≠2.直線MD的斜率k_MD＝，
直線ND的斜率k_ND＝，得k_MD＝k_ND，所以直線MN過D點．
因此，直線MN必過x軸上的點D(1，0)．