已知雙曲線的左、右頂點分別為A、B,右焦點為F(,0),
一條漸近線的方程為,點P為雙曲線上不同于A、B的任意一點,過P作x軸的垂線交雙曲線于另一點Q.
(I)求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)求直線AP與直線BQ的交點M的軌跡E的方程;
(Ⅲ)過點N(l,0)作直線l與(Ⅱ)中軌跡E交于不同兩點R、S,已知點T(2,0),設(shè)的取值范圍.

【答案】分析:(I)利用雙曲線的右焦點為F(,0),一條漸近線的方程為,結(jié)合c2=a2+b2,可求雙曲線C的方程;(Ⅱ)由A,M,P三點共線、B,M,Q三點共線,確定坐標(biāo)之間的關(guān)系,利用雙曲線方程,可得直線AP與直線BQ的交點M的軌跡E的方程;
(Ⅲ)①若直線l的斜率為0,不滿足;
②當(dāng)直線l的斜率不為0時,設(shè)方程為x=ty+1,代入,利用韋達(dá)定理,及,=[t(y1+y2)-2]2+(y1+y22=16-+,即可求得結(jié)論.
解答:解:(I)∵雙曲線的右焦點為F(,0),一條漸近線的方程為,
∴c=
∵c2=a2+b2,∴a=,b=1
∴雙曲線C的方程為;
(Ⅱ)設(shè)P(x,y),Q(x,-y),M(x,y),A(-,B(
由A,M,P三點共線得:(x+)y=y(x+
由B,M,Q三點共線得:(x-)y=-y(x-



∴直線AP與直線BQ的交點M的軌跡E的方程為
(Ⅲ)①若直線l的斜率為0,則R(-,0),S(,0),N(1,0),
,

②當(dāng)直線l的斜率不為0時,設(shè)方程為x=ty+1,代入,可得(t2+2)y2+2ty-1=0
設(shè)R(x1,y1),S(x2,y2)(y1≠0,y2≠0),則y1+y2=-,y1y2=-
,∴y1=λy2,∴λ=,λ<0
+2=+2==-
∵λ∈[-2,-1]

∴-≤-≤0
∴0≤t2
=[t(y1+y2)-2]2+(y1+y22=16-+
令n=,則n∈[]
=8n2-28n+16=8(n-2-
∴n=時,min=4;n=時,=
∈[2,].
點評:本題考查雙曲線的方程,考查軌跡方程,考查向量知識的運(yùn)用,考查韋達(dá)定理,考查學(xué)生的計算能力,綜合性強(qiáng).
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(本小題滿分14分)已知雙曲線的左、右頂點分別為,點是雙曲線上不同的兩個動點.

(1)求直線交點的軌跡E的方程

(2若過點的兩條直線與軌跡E都只有一個交點,且,求的值.

 

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(本小題滿分分)

已知雙曲線的左、   右頂點分別為,動直線與圓相切,且與雙曲線左、右兩支的交點分別為.

(Ⅰ)求的取值范圍,并求的最小值;

(Ⅱ)記直線的斜率為,直線的斜率為,那么,是定值嗎?并證明

 

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已知雙曲線的左、右頂點分別為A、B,雙曲線在第一象限的圖象上有一點P,,則

A、        B、

C、         D、

 

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(本小題滿分12分)已知雙曲線的左、右頂點分別為,點,是雙曲線上不同的兩個動點.

(1)求直線交點的軌跡E的方程

(2)若過點H(0, h)(h>1)的兩條直線與軌跡E都只有一個公共點,且,求的值.

 

 

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已知雙曲線的左、右頂點分別為A、B,雙曲線在第一象限的圖象上有一點P,,則                      (  )

A.      B.

C.    D.

 

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