Question

已知函數(shù)f（x）lnx-

a

x

，其中a∈R，且曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)垂直于直線(xiàn)y=x．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)，由f′（1）=-a-1=1求得a的值；
（2）把（1）中求得的a的值代入函數(shù)解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，判斷原函數(shù)的單調(diào)性，從而求得原函數(shù)的極值點(diǎn)并求得極值．

解答： 解：（1）f′（x）=

1

x

+

a

x2

…（2分）
∵曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)垂直于直線(xiàn)y=x，
∴f′（1）=a+1=-1，∴a=-2…（4分）
（2）由（Ⅰ）知f（x）=lnx+

2

x

，則f′（x）=

1

x

-

2

x2

=

x-2

x2

令f′（x）=0，解得x=2，又f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）…（6分）
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f′（x）＜0∴f（x）在（0，2）內(nèi)為減函數(shù)…（8分）
當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0∴f（x）在（2，+∞）內(nèi)為增函數(shù)…（10分）
由此知函數(shù)f（x）在x=2處取得極小值f（2）=ln2+1，無(wú)極大值．…（11分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，過(guò)曲線(xiàn)上某點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，是中檔題．