A. | c<a<b | B. | b<c<a | C. | a<c<b | D. | c<b<a |
分析 根據(jù)條件xf′(x)-f(x)>0恒成立,構(gòu)造函數(shù)g(x)=$\frac{f(x)}{x}$,然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可得到結(jié)論.
解答 解:構(gòu)造函數(shù)g(x)=$\frac{f(x)}{x}$,
則g'(x)=$\frac{1}{{x}^{2}}$[f(x)-xf′(x)],
∵當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),xf′(x)-f(x)>0恒成立,
∴g'(x)<0,
即g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減,
∵a=f(1)=$\frac{f(1)}{1}$=g(1),b=$\frac{1}{2}$f(2)=$\frac{f(2)}{2}$=g(2),c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$f($\sqrt{2}$)=$\frac{f(\sqrt{2})}{\sqrt{2}}$=g($\sqrt{2}$)
又1<$\sqrt{2}$<2,
∴g(1)>g($\sqrt{2}$)>g(2),
即a>c>b,
故選:B.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值的大小比較,根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g(x)=$\frac{f(x)}{x}$是解決本題的關(guān)鍵,要求熟練掌握函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.
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