Question

已知函數(shù)f（x）=

x-1

x-2

（x≠2），g（x）=3sinπx+1（0＜x＜4），y=f（x）與y=g（x）的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）和g（x）的表達(dá)式得到兩個(gè)函數(shù)都關(guān)于點(diǎn)（2，1）對(duì)稱，然后利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答：解：∵f（x）=

x-1

x-2

=

x-2+1

x-2

=1+

1

x-2

，
∴函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（2，1）對(duì)稱．
∵函數(shù)y=3sinπx關(guān)于點(diǎn)（2，0）對(duì)稱，
∴g（x）=3sinπx+1（0＜x＜4）也關(guān)于點(diǎn)（2，1）對(duì)稱，
作出函數(shù)f（x）和g（x）的圖象，可以y=f（x）與y=g（x）的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，
它們彼此都關(guān)于點(diǎn)（2，1）對(duì)稱，
設(shè)關(guān)于對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a，b和c，d，
則

a+b

2

=2，

c+d

2

=2，
即a+b=4，c+d=4，
∴a+b+c+d=4+4=8，
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)圖象相交問(wèn)題，根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式判斷函數(shù)f（x）和g（x）關(guān)于點(diǎn)（2，1）對(duì)稱是解決本題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類問(wèn)題的基本方法．