Question

【題目】已知長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝3，AD＝4.現(xiàn)將長(zhǎng)方形沿對(duì)角線BD折起，使AC＝a，得到一個(gè)四面體A－BCD，如圖所示.

(1)試問：在折疊的過程中，直線AB與CD能否垂直？若能，求出相應(yīng)a的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)求四面體A－BCD體積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】
試題分析：（1）假設(shè)，又，則平面，得到，解得；（2）易知，翻折到平面平面時(shí)，體積最大，則底面為，高為，求得最大體積為。

(1)直線AB與CD能夠垂直.

因?yàn)?/span>AB⊥AD，若AB⊥CD，AD∩CD＝D，

則有AB⊥平面ACD，

從而AB⊥AC.

此時(shí)，a＝＝＝，

即當(dāng)a＝時(shí)，有AB⊥CD.

(2)由于△BCD面積為定值，所以當(dāng)點(diǎn)A到平面BCD的距離最大，即當(dāng)平面ABD⊥平面BCD時(shí)，該四面體的體積最大，

此時(shí)，過點(diǎn)A在平面ABD內(nèi)作AH⊥BD，垂足為H，

則有AH⊥平面BCD，AH就是該四面體的高.

在△ABD中，AH＝＝，

S△BCD＝×3×4＝6，

此時(shí)VA－BCD＝S△BCD·AH＝，即為該四面體體積的最大值.