Question

19．已知函數(shù)$f（x）=\frac{e^x}{{a{x^2}+bx+1}}$，其中a，b，c∈R．
（Ⅰ）若a=b=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a=0，且當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥1總成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過a=b=1，函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥1總成立，轉(zhuǎn)化為bx+1＞0在x≥1恒成立，推出b≥0，即證明$b≤\frac{{{e^x}-1}}{x}$在x≥1時(shí)恒成立，設(shè)$g（x）=\frac{{{e^x}-1}}{x}$，求出導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的最值即可推出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\frac{e^x}{{{x^2}+x+1}}，f'（x）=\frac{{{e^x}x（x-1）}}{{{{（{x^2}+x+1）}^2}}}$，
f'（x）＞0⇒x＜0或x＞1；f'（x）＜0⇒0＜x＜1
函數(shù)f（x）在（-∞，0），（1，+∞）單調(diào)遞增，在（0，1）單調(diào)遞減．
（Ⅱ）當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥1總成立，
即當(dāng)x≥1時(shí)$\frac{e^x}{bx+1}≥1$恒成立，
因?yàn)閑^x＞0，所以bx+1＞0在x≥1恒成立，所以b≥0
所以只需x≥1時(shí)e^x≥bx+1恒成立，需$b≤\frac{{{e^x}-1}}{x}$在x≥1時(shí)恒成立，
設(shè)$g（x）=\frac{{{e^x}-1}}{x}$，則$g'（x）=\frac{{{e^x}（x-1）+1}}{x^2}$，x≥1時(shí)，$g'（x）=\frac{{{e^x}（x-1）+1}}{x^2}＞0$，
所以$g（x）=\frac{{{e^x}-1}}{x}$在[1，+∞）單調(diào)遞增，x≥1時(shí)，g（x）≥g（1）=e-1，所以b≤e-1，
綜上0≤b≤e-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及構(gòu)造法的應(yīng)用，開心分析問題解決問題的能力．