Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，且經過點（1，

2

2

）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點A的坐標為（2，0），直線l經過橢圓C的右焦點F，交橢圓C于P，Q兩點．求證：∠PAF=∠QAF．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）根據(jù)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，且經過點（1，

2

2

），建立方程組，求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（2）分類討論，斜率不存在時，P，Q關于x軸對稱，∠PAF=∠QAF；斜率存在時，設方程為y=k（x-1），直線代入橢圓方程，利用韋達定理，證明k_PA+k_QA=0即可．

解答： （1）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，且經過點（1，

2

2

）．
∴

a2-b2 a = 2 2 1 a2 + 1 2 b2 =1

，
∴a=

2

，b=1，
∴橢圓C的方程

x2

2

+y2=1；
（2）證明：斜率不存在時，P，Q關于x軸對稱，∠PAF=∠QAF；
斜率存在時，設方程為y=k（x-1），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
直線代入橢圓方程可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

，
∴k_PA+k_QA=

y1

x1-2

+

y2

x2-2

=2k+

k(x1+x2-4)

x1x2-2(x1+x2)+4

=2k+

k(-4k2-4)

2k2+2

=0，
∴∠PAF=∠QAF，
綜上，∠PAF=∠QAF．

點評：本題考查橢圓的方程與性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．