Question

設函數．

(1)求f(x)的單調區(qū)間和極值;

(2)關于的方程f(x)=a在區(qū)間上有兩個根,求a的取值范圍．

 

Answer 1

(1) 當x=0時f(x)有極小值-1,當x=3時, f(x)有極大值． (2) 或

【解析】

試題分析：(1) 先對原函數求導，然后列表求出單調區(qū)間和極值即可; (2) 關于的方程f(x)=a在區(qū)間上有三個根,即函數y=a與y=f（x）的圖象在區(qū)間上有三個交點，只需要函數y= f(x) 和函數y=a 的圖像有兩個交點．根據函數單調性變化情況，可求得實數a的范圍．

(1) ,由得 (2分)

x		0		3
f’(x)	-	0	+	0	-
f(x)	↘	極小值-1	↗	極大值	↘

 

由上表得, f(x)的單調增區(qū)間為,單調減區(qū)間為,;

當x=0時f(x)有極小值-1,當x=3時, f(x)有極大值． (6分)

(2)由題知,只需要函數y= f(x) 和函數y=a 的圖像有兩個交點． (7分)

,所以

由(1)知f(x)在,當上單調遞減,上單調遞增,在在上單調遞減． (10分)

∴當或 時, y= f(x) 和y=a 的圖像有兩個交點．即方程f(x)=a在區(qū)間上有兩個根． (12分)

考點：函數的單調區(qū)間和極值;函數圖像的交點與方程的根的對應關系．