(本題滿分12分)設橢圓C的中心在坐標原點O,焦點在x軸上,短軸長為,左焦點到左準線的距離為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設橢圓C上有不同兩點P、Q,且OP⊥OQ,過P、Q的直線為l,求點O到直線l的距離.
解 (1)設橢圓C的方程為(a>b>0),
則 ,.
由 ,即 ,得 .
于是 a2 = b2 + c2 = 21 + 7 = 28,橢圓C的方程為.………………… 5分
(2)若直線l的斜率不存在,即l⊥x軸時,不妨設l與x正半軸交于點M,將x = y代入中,得,則點P(,),Q(,),于是點O到l的距離為. …………………… 7分
若直線l的斜率存在,設l的方程為y = kx + m(k,m∈R),則點P(x1,y1),Q(x2,y2)的坐標是方程組的兩個實數(shù)解,
消去y,整理,得(3 + 4k2)x2 + 8kmx + 4m2-84 = 0,
∴ △ =(8km)2-4(3 + 4k2)(4m2-84)= 12(28k2-m2 + 21)>0, ①
,. ②
…………………… 9分
∵ OP⊥OQ,∴ kOP · kOQ =-1,即 ,x1x2 + y1y2 = 0.
于是 x1x2 +(kx1 + m)(kx2 + m)=(1 + k2)x1x2 + km(x1 + x2)+ m2 = 0. ③
將 x1 + x2,x1x2 代入上式,得 ,
∴(k2 + 1)(4m2-84)-8k2m2 + m2(4k2 + 3)= 0,
化簡,得 m2 = 12(k2 + 1). ④
④代入①滿足,因此原點O到直線l的距離 .
…………………… 12分
科目:高中數(shù)學 來源:2014屆吉林省吉林市高二上學期期中理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
(本題滿分12分)
設命題:實數(shù)滿足, 命題:實數(shù)滿足.
當為真,求實數(shù)的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年河北省石家莊市高三暑期第二次考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
(本題滿分12分)設函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間;
(2)若對恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年湖北省高三十一月份階段性考試理科數(shù)學 題型:解答題
(本題滿分12分)設函數(shù),其中。
(Ⅰ)當時,求不等式的解集;
(Ⅱ)若不等式的解集為 ,求a的值。
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011年云南省高二上學期期末數(shù)學理卷 題型:解答題
(本題滿分12分)
設,分別是橢圓:的左、右焦點,過斜率為1的直線與相交于、兩點,且,,成等差數(shù)列,
(Ⅰ)求的離心率;
(Ⅱ)設點滿足,求的方程。
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