若函數(shù)h(x)滿足

(1)h(0)=1,h(1)=0;

(2)對(duì)任意,有h(h(a))=a;

(3)在(0,1)上單調(diào)遞減。則稱h(x)為補(bǔ)函數(shù)。已知函數(shù)

(1)判函數(shù)h(x)是否為補(bǔ)函數(shù),并證明你的結(jié)論;

(2)若存在,使得h(m)=m,若m是函數(shù)h(x)的中介元,記時(shí)h(x)的中介元為xn,且,若對(duì)任意的,都有Sn< ,求的取值范圍;

(3)當(dāng)=0,時(shí),函數(shù)y= h(x)的圖像總在直線y=1-x的上方,求P的取值范圍。

 

【答案】

 見解析

【解析】(1)函數(shù)是補(bǔ)函數(shù)。證明如下:

;

;

③令,有,

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912462104639747/SYS201207091246566088514997_DA.files/image006.png">,所以當(dāng)時(shí),,所以在(0,1)上單調(diào)遞減,故函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞減。

(2)   當(dāng),由,得: 

①當(dāng)時(shí),中介元;

②當(dāng)時(shí),由(*)可得;

得中介元,綜上有對(duì)任意的,中介元

于是,當(dāng)時(shí),有=

當(dāng)n無限增大時(shí), 無限接近于, 無限接近于,故對(duì)任意的,成立等價(jià)于,即 ;

(3)   當(dāng)時(shí), ,中介元是

①當(dāng)時(shí), ,中介元為,所以點(diǎn)不在直線y=1-x的上方,不符合條件;

②當(dāng)時(shí),依題意只須時(shí)恒成立,也即時(shí)恒成立,設(shè),則,

可得,且當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912462104639747/SYS201207091246566088514997_DA.files/image049.png">=1,所以當(dāng)時(shí), 恒成立。

綜上:p的取值范圍為(1,+)。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)的新定義,函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用以及分類討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想. 高考中,導(dǎo)數(shù)解答題一般有以下幾種考查方向:一、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;二、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,最值;三、用導(dǎo)數(shù)求最值的方法證明不等式.來年需要注意用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值的考查.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知集合M是同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體:
①函數(shù)f(x)在其定義域上是單調(diào)函數(shù);
②在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)存在閉區(qū)間[a,b]使得f(x)在[a,b]上的最小值是
a
2
,且最大值是
b
2
.請(qǐng)解答以下問題
(1)判斷函數(shù)f(x)=x+
2
x
(x∈(0,+∞))
是否屬于集合M?并說明理由;
(2)判斷函數(shù)g(x)=-x3是否屬于集合M?并說明理由.若是,請(qǐng)找出滿足②的閉區(qū)間[a,b];
(3)若函數(shù)h(x)=
x-1
+t∈M
,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知集合M={f(x)|y=f(x)},其元素f(x)須同時(shí)滿足下列三個(gè)條件:
①定義域?yàn)椋?1,1);
②對(duì)于任意的x,y∈(-1,1),均有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)
;
③當(dāng)x<0時(shí),f(x)>0.
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)∈M,證明:y=f(x)在定義域上為奇函數(shù);
(Ⅱ)若函數(shù)h(x)=ln
1-x
1+x
,判斷是否有h(x)∈M,說明理由;
(Ⅲ)若f(x)∈M且f(-
1
2
)=1
,求函數(shù)y=f(x)+
1
2
的所有零點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

探究函數(shù)f(x)=x+
4
x
,x∈(-∞,0)的最大值,并確定取得最大值時(shí)x的值.列表如下:
請(qǐng)觀察表中y值隨x值變化的特點(diǎn),完成以下的問題.
x -3 -2.3 -2.2 -2.1 -2 -1.9 -1.7 -1.5 -1 -0.5
y -4.3 -4.04 -4.02 -4.005 -4 -4.005 -4.05 -4.17 -5 -8.5
(1)函數(shù)f(x)=x+
4
x
,x∈(-∞,0)在區(qū)間
(-∞,-2)
(-∞,-2)
上為單調(diào)遞增函數(shù).當(dāng)x=
-2
-2
時(shí),f(x)最大=
-4
-4

(2)證明:函數(shù)f(x)=x+
4
x
在區(qū)間[-2,0)為單調(diào)遞減函數(shù).
(3)若函數(shù)h(x)=
x2-ax+4
x
在x∈[-2,-1]上,滿足h(x)≥0恒成立,求a的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試江西卷數(shù)學(xué)理科 題型:044

若函數(shù)h(x)滿足

(1)h(0)=1,h(1)=0;

(2)對(duì)任意a∈[0,1],有h(h(a))=a;

(3)在(0,1)上單調(diào)遞減.

則稱h(x)為補(bǔ)函數(shù).已知函數(shù)h(x)=(λ>-1,p>0)

(1)判函數(shù)h(x)是否為補(bǔ)函數(shù),并證明你的結(jié)論;

(2)若存在m∈[0,1],使得h(m)=m,若m是函數(shù)h(x)的中介元,記p=(n∈N+)時(shí)h(x)的中介元為xn,且Sn,若對(duì)任意的n∈N+,都有Sn,求λ的取值范圍;

(3)當(dāng)λ=0,x∈(0,1)時(shí),函數(shù)y=h(x)的圖像總在直線y=1-x的上方,求P的取值范圍.

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