【題目】已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16, ,其中第一項(xiàng)是20,接下來(lái)的兩項(xiàng)是20,21,再接下來(lái)的三項(xiàng)是20,21,22,依此類(lèi)推. 設(shè)該數(shù)列的前項(xiàng)和為,
規(guī)定:若 ,使得( ),則稱(chēng)為該數(shù)列的“佳冪數(shù)”.
(Ⅰ)將該數(shù)列的“佳冪數(shù)”從小到大排列,直接寫(xiě)出前3個(gè)“佳冪數(shù)”;
(Ⅱ)試判斷50是否為“佳冪數(shù)”,并說(shuō)明理由;
(III)(i)求滿(mǎn)足>70的最小的“佳冪數(shù)”;
(ii)證明:該數(shù)列的“佳冪數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè).
【答案】(Ⅰ)1,2,3;(Ⅱ)見(jiàn)解析;(III)(i)95;(ii)見(jiàn)解析.
【解析】試題分析:(1) (2)先根據(jù)題意確定前9項(xiàng)有45個(gè)數(shù),所以,不能表示為,因此不是“佳冪數(shù)”(3)(i)因?yàn)?/span>,所以, 結(jié)合條件確定t的最小值,解得最小的“佳冪數(shù)”(ii)由得“佳冪數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè)
試題解析:(Ⅰ)1,2,3;
(Ⅱ)由題意可得,數(shù)列如下:
第1組:1,第2組:1,2;第3組:1,2,4; 第k組: .
則該數(shù)列的前項(xiàng)的和為:
,①
當(dāng)時(shí), ,
則 ,
由于,對(duì) , ,故50不是“佳冪數(shù)”.
(III)(i)在①中,要使,有,
此時(shí),
所以是第組等比數(shù)列的部分項(xiàng)的和,
設(shè)
所以,則,此時(shí),
所以對(duì)應(yīng)滿(mǎn)足條件的最小“佳冪數(shù)”.
(ii)由(i)知:
當(dāng),且取任意整數(shù)時(shí),可得“佳冪數(shù)”,
所以,該數(shù)列的“佳冪數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】長(zhǎng)方形中, , 是中點(diǎn)(圖1).將△沿折起,使得(圖2)在圖2中:
(1)求證:平面 平面;
(2)在線段上是否存點(diǎn),使得二面角為大小為,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是一幾何體的平面展開(kāi)圖,其中ABCD為正方形,E,F分別為PA,PD的中點(diǎn),
在此幾何體中,給出下面四個(gè)結(jié)論:
①直線BE與直線CF異面; ②直線BE與直線AF異面;
③直線EF∥平面PBC; ④平面BCE⊥平面PAD.
其中正確的有( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓 的右焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)為橢圓的上一點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)且垂直于的直線與直線交于點(diǎn),求面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,為正三角形,且側(cè)面PAB⊥底面ABCD. E,M分別為線段AB,PD的中點(diǎn).
(I)求證:PE⊥平面ABCD;
(II)求證:PB//平面ACM;
(III)在棱CD上是否存在點(diǎn)G,使平面GAM⊥平面ABCD,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市高中全體學(xué)生參加某項(xiàng)測(cè)評(píng),按得分評(píng)為兩類(lèi)(評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)見(jiàn)表1).根據(jù)男女學(xué)生比例,使用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取了10000名學(xué)生的得分?jǐn)?shù)據(jù),其中等級(jí)為的學(xué)生中有40%是男生,等級(jí)為的學(xué)生中有一半是女生.等級(jí)為和的學(xué)生統(tǒng)稱(chēng)為類(lèi)學(xué)生,等級(jí)為和的學(xué)生統(tǒng)稱(chēng)為類(lèi)學(xué)生.整理這10000名學(xué)生的得分?jǐn)?shù)據(jù),得到如圖2所示的頻率分布直方圖,
類(lèi)別 | 得分() | |
表1
(I)已知該市高中學(xué)生共20萬(wàn)人,試估計(jì)在該項(xiàng)測(cè)評(píng)中被評(píng)為類(lèi)學(xué)生的人數(shù);
(Ⅱ)某5人得分分別為45,50,55,75,85.從這5人中隨機(jī)選取2人組成甲組,另外3人組成乙組,求“甲、乙兩組各有1名類(lèi)學(xué)生”的概率;
(Ⅲ)在這10000名學(xué)生中,男生占總數(shù)的比例為51%, 類(lèi)女生占女生總數(shù)的比例為, 類(lèi)男生占男生總數(shù)的比例為,判斷與的大。ㄖ恍鑼(xiě)出結(jié)論)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),圓,點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn), 的垂直平分線與交于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線,過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線與交于兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,證明直線過(guò)定點(diǎn),并求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)求過(guò)點(diǎn)的的切線方程;
(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在的最大值;
(3)證明:當(dāng)時(shí),不等式對(duì)任意均成立(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù), ).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足,當(dāng)時(shí), ,函數(shù).若對(duì)任意,存在,不等式成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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