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14.已知函數(shù)f(x)=(x2-x+1)ex,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)x∈[-2,+∞)時(shí),討論函數(shù)f(x)的圖象與直線y=m的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(Ⅱ)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的端點(diǎn)值和極值,通過(guò)討論m的范圍,求出函數(shù)f(x)的圖象與直線y=m的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

解答 解:(Ⅰ)f(x)=(x2-x+1)ex,
f′(x)=x(x+1)ex,
令f′(x)>0,解得:x>0或x<-1,
令f′(x)<0,解得:-1<x<0,
故f(x)在(-∞,-1)遞增,在(-1,0)遞減,在(0,+∞)遞增;
(Ⅱ)由(Ⅰ)f(x)在[-2,-1)遞增,在(-1,0)遞減,在(0,+∞)遞增,
而f(-2)=7e2,f(-1)=3e,f(0)=1<f(-2),
故m>3e時(shí),f(x)的圖象與直線y=m的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是1個(gè),
m=3e時(shí),f(x)的圖象與直線y=m的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是2個(gè),
1<m<3e時(shí),f(x)的圖象與直線y=m的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是3個(gè),
m=1時(shí),f(x)的圖象與直線y=m的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是2個(gè),
7e3≤m<1時(shí),f(x)的圖象與直線y=m的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是1個(gè);
m<7e3時(shí),f(x)的圖象與直線y=m的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是0個(gè).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,是一道中檔題.

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