Question

（本小題滿分12分）

對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)，若同時(shí)滿足下列條件：①在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；②存在區(qū)間[]，使在[]上的值域?yàn)閇]；那么把()叫閉函數(shù)．

（1）求閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間[]；

（2）判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)？并說明理由；

（3）若函數(shù)是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）[-1，1]。（2）函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)。（3）。

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)y=-x³的單調(diào)性，假設(shè)區(qū)間為[a，b]滿足，求a、b的值．

（2）取一特殊值x₁=1，x₂=10，代入驗(yàn)證不滿足條件即可證明不是閉函數(shù)．

（3）根據(jù)閉函數(shù)的定義，得到a,b,k的關(guān)系式，然后轉(zhuǎn)換為方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根來得到參數(shù)的范圍。

解：

（1）由題意，在[]上遞減，則解得

所以，所求的區(qū)間為[-1，1]．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

（2）

取則，

即不是上的減函數(shù)。

取，

即不是上的增函數(shù)，

所以，函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)。．．．．．．．．．．．．．4分

（3）若是閉函數(shù)，則存在區(qū)間[]，在區(qū)間[]上，函數(shù)的值域?yàn)閇]，即，為方程的兩個(gè)實(shí)根，

即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根。

當(dāng)時(shí)，有，解得。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

當(dāng)時(shí)，有，無解。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

綜上所述，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

考點(diǎn)：本試題主要考查了新定義的運(yùn)用，通過給定的新定義來解題．這種題重要考查學(xué)生的接受新內(nèi)容的能力．

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是理解閉函數(shù)的概念，并能結(jié)合所學(xué)知識(shí)，轉(zhuǎn)換為不等式以及對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式。