Question

已知函數(shù)f（x+1）是奇函數(shù)，f（x-1）是偶函數(shù)，且f（0）=2，則f（2012）=

 

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先根據(jù)函數(shù)f（x+1）為奇函數(shù)得到f（x+1）=-f（-x+1）；再結(jié)合函數(shù)f（x-1）是偶函數(shù)得到f（x-1）=f（-x-1），聯(lián)立可求函數(shù)的周期，然后把所求的f（2012）轉(zhuǎn)化可求即可得到答案．

解答： 解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x+1）為奇函數(shù)
所以有：f（x+1）=-f（-x+1）
令t=x+1可得f（t）=-f（2-t）
∵函數(shù)f（x-1）是偶函數(shù)
∴f（x-1）=f（-x-1），令x-1=t，則可得，f（t）=f（-t-2）
∴f（-t-2）=-f（-t+2）
令-t-2=m，則f（m）=-f（m+4），f（m+8）=f（m）即函數(shù)以8為周期的周期函數(shù)
∴f（2012）=f（4）=-f（0）=-2
故答案為：-2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于根據(jù)函數(shù)f（x+1）為奇函數(shù)得到f（x+1）=-f（-x+1）；再結(jié)合函數(shù)f（x-1）是偶函數(shù)得到f（x-1）=f（-x-1）求解出函數(shù)的周期