Question

在曲線y=1-x²（x≥0，y≥0）上找一點（x₀，y₀），過此點作一切線與x軸、y軸圍成一個三角形．
（1）求三角形面積S的最小值及相應(yīng)的x₀；
（2）當(dāng)三角形面積達(dá)到最小值時，求此三角形的外接圓方程．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)y=1-x²在（x₀，y₀）處的導(dǎo)數(shù)值，即切線的斜率，利用點斜式寫出直線的方程，對于直線的方程分別令y=0，x=0得到直線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，利用兩點距離公式求出三角形的兩條直角邊，利用三角形的面積表示出面積，對面積函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于0，判斷出根左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)符號，求出最大值．
（2）當(dāng)三角形面積最小時，求出此時的切線方程及切線與x、y軸的交點坐標(biāo)，從而得出此三角形的外接圓圓心，半徑，從而寫出外接圓方程即可．

解答：解：（1）y'=-2x，則過點（x₀，y₀）的切線方程為y-（1-x₀²）=-2x₀（x-x₀），
與x、y軸圍成的三角形面積為S=f(x0)=

1

4

(

x

3 0

+2x0+

1

x0

)，
則S′=

1

4

(3

x

2 0

+2-

1

x 2 0

)，令S'=0得x0=

3

3

當(dāng)x∈(0，

3

3

)時，S'＜0，f（x₀）單調(diào)遞減；  當(dāng)x∈(

3

3

，1)時，S'＞0，f（x₀）單調(diào)遞增．
∴S的最小值為

4 3

9

，此時x0=

3

3

（7分）
（2）當(dāng)三角形面積最小時，切線方程為y=-

2 3

3

x+

4

3

，切線與x、y軸的交點分別為A(

2 3

3

，0)、B(0，

4

3

)，
∴此三角形的外接圓圓心為(

3

3

，

2

3

)，半徑為

7

3

，
∴所求外接圓方程(x-

3

3

)2+(y-

2

3

)2=

7

9

（12分）

點評：解決曲線的切線斜率問題，一般利用函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率；解決實際問題中的函數(shù)的最值問題，一般利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值即函數(shù)的最值．