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第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分，第（3）小題滿分6分.

已知點為雙曲線的左、右焦點，過作垂直于軸的直線，在軸上方交雙曲線于點，且，圓的方程為.

（1）求雙曲線的方程；

（2）過圓上任意一點作切線交雙曲線于兩個不同點，中點為，

求證：；

（3）過雙曲線上一點作兩條漸近線的垂線，垂足分別是和，求的值

 

【答案】

（1）；（2）見解析；（3）

【解析】本試題主要考查了雙曲線的運用。

解：（1）設的坐標分別為----------------1分

因為點M在雙曲線C上，所以，即，所以------2分

在中，，，所以-------3分

由雙曲線的定義可知：

     故雙曲線C的方程為：-------------------4分

（2）①當切線l的斜率存在

設，切線的方程為：

代入雙曲線C中，化簡得： 

所以-------------------6分

因為直線l與圓O相切，所以，代入上式，得-----------7分

設點M的坐標為，則

所以-------------------8分

即|AB|=2|OM|成立

②當切線l的斜率不存在時，

，

即|AB|=2|OM|成立-------------------10分

（1） 由條件可知：兩條漸近線分別為

------11分

設雙曲線C上的點P(x0,y0)，

則點P到兩條漸近線的距離分別為--------------13分

因為P(x0,y0)，在雙曲線C：上，所以

故-------------------14分

設 -------------15分

-----16分

 

練習冊系列答案
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如果存在常數使得數列滿足：若是數列中的一項，則也是數列中的一項，稱數列為“兌換數列”，常數是它的“兌換系數”.

（1）若數列：是“兌換系數”為的“兌換數列”，求和的值；

（2）已知有窮等差數列的項數是，所有項之和是，求證：數列是“兌換數列”，并用和表示它的“兌換系數”；

（3）對于一個不少于3項，且各項皆為正整數的遞增數列，是否有可能它既是等比數列，又是“兌換數列”？給出你的結論并說明理由.

 

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定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”。如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比。已知橢圓。

若橢圓，判斷與是否相似？如果相似，求出與的相似比；如果不相似，請說明理由；

寫出與橢圓相似且短半軸長為的橢圓的方程；若在橢圓上存在兩點、關于直線對稱，求實數的取值范圍？

如圖：直線與兩個“相似橢圓”和分別交于點和點，證明：

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已知關于的不等式的解集為，不等式的解集為。

（1）若，求；（2）若，求正數的取值范圍。

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