Question

20．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1，（a＞b＞0），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，如圖過F₂且斜率為1的直線與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，且$\frac{{|P{F_2}|}}{{|Q{F_2}|}}$=2，則橢圓的離心率e=（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），由橢圓的第二定義可知：丨PF₂丨=a-ex₁，丨QF₂丨=a-ex₂，則a²=c（2x₂-x₁），將直線AB的方程代入橢圓方程，即可求得x₁和x₂，代入由c²=a²-b²，根據(jù)離心率的取值范圍，即可求得橢圓的離心率e．

解答 解：設(shè)P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由橢圓的第二定義可知：丨PF₂丨=a-ex₁，丨QF₂丨=a-ex₂，
∴x₂＞x₁，
由$\frac{{|P{F_2}|}}{{|Q{F_2}|}}$=2，即丨PF₂丨=2丨QF₂丨，
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$，
∴a=$\frac{c}{a}$（2x₂-x₁），整理得：a²=c（2x₂-x₁），
由題意可知：直線PQ的方程為：y=x-c，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x-c}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，整理得：（a²+b²）x²-2a²cx+a²c²-a²b²=0，
由橢圓的性質(zhì)可知：c²=a²-b²，
代入解得：x₁=$\frac{{a}^{2}c-\sqrt{2}a^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，x₂=$\frac{{a}^{2}c+\sqrt{2}a^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
代入整理得：3$\sqrt{2}$ac³-2a²c²-3$\sqrt{3}$a³c+2a⁴=0，等式兩邊同除以a⁴，
整理得：3$\sqrt{2}$e³-2e²-3$\sqrt{2}$e+2=0，即（e-1）[3$\sqrt{2}$e²+（3$\sqrt{2}$-2）e-2]=0，
解得：e=±1，e=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
由0＜e＜1，
∴e=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的離心率的求法，考查橢圓的第二定義的應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于難題．