Question

3．若向量$\overrightarrow{a}$=$（{\sqrt{3}cosωx，sinωx}）$，$\overrightarrow$=（sinωx，0），其中ω＞0，記函數(shù)f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overline$-$\frac{1}{2}$．若函數(shù)f（x）的圖象與直線y=m（m為常數(shù)）相切，并且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成公差是π的等差數(shù)列．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式及m的值；
（Ⅱ）將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，再將得到的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變）后得到y(tǒng)=g（x）的圖象，求y=g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算，倍角公式，和差角公式，可得f（x）的表達(dá)式及m的值；
（Ⅱ）求出y=g（x）解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得y=g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵向量$\overrightarrow{a}$=$（{\sqrt{3}cosωx，sinωx}）$，$\overrightarrow$=（sinωx，0），
∴函數(shù)f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overline$-$\frac{1}{2}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}cosωx•sinωx$+sin²ωx-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx=sin（2ωx$-\frac{π}{6}$），
∵函數(shù)f（x）的圖象與直線y=m（m為常數(shù)）相切時(shí)，
切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成公差是π的等差數(shù)列．
故T=π，m=±1，
即2ω=2，ω=1，
∴$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）$，m=±1
（Ⅱ）將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，
可得$y=sin（2x+\frac{π}{6}）$的圖象，
再將得到的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變）后得到y(tǒng)=g（x）=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$的圖象，
當(dāng)x∈$[0，\frac{π}{2}]$時(shí)，$2x+\frac{π}{6}$∈$[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，
故當(dāng)$2x+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$即x=$\frac{π}{6}$時(shí)，函數(shù)最最大值2，
當(dāng)$2x+\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$即x=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)最最小值-1，
故y=g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的值域?yàn)椋篬-1，2]

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．