Question

19．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≤0時，f（x）=-x²-2x，現(xiàn)已畫出函數(shù)f（x）在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示，根據(jù)圖象：
（1）畫出函數(shù)f（x）在y軸右側(cè)圖象，并寫出函數(shù)f（x）（x∈R）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）寫出函數(shù)f（x）（x∈R）的解析式；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）-2ax+2（x∈[0，2]），求函數(shù)g（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，畫出函數(shù)f（x）在y軸右側(cè)圖象，可得函數(shù)f（x）（x∈R）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)圖象寫出函數(shù)f（x）（x∈R）的解析式；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）-2ax+2（x∈[0，2]），分類討論求函數(shù)g（x）的最大值．

解答 解：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，畫出函數(shù)f（x）在y軸右側(cè)圖象，
函數(shù)f（x）（x∈R）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-1），（0，1）；
（2）函數(shù)f（x）（x∈R）的解析式f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2x，x≤0}\\{-{x}^{2}+2x，x＞0}\end{array}\right.$；
（3）x∈[0，2]，函數(shù)g（x）=f（x）-2ax+2=-x²+2x-2ax+2=-[（x-（a-1）]²+3-2a+a²，
a-1＜0，即a＜1，g（x）_max=g（0）=2；
0≤a-1≤2，即1≤a≤3，g（x）_max=g（a-1）=；3-2a+a²，
a-1＞2，即a＞3，g（x）_max=g（2）=-4a+2．

點評 本題考查函數(shù)圖象的畫法，考查函數(shù)的奇偶性與最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．