Question

（2012•眉山二模）已知f（x）=ax³+bx²+cx+d是定義在R上的函數(shù)，它在[-1，0]和[4，5]上有相同的單調(diào)性，在[0，2]和[4，5]上有相反的單調(diào)性．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）在函數(shù)f（x）的圖象上是否存在點(diǎn)M（x₀，y₀），使得f（x）在點(diǎn)M的切線斜率為3b？若存在，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，則說明理由；
（Ⅲ）設(shè)f（x）的圖象交x軸于A、B、C三點(diǎn)，且B的坐標(biāo)為（2，0），求線段AC的長度|AC|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間判斷出x=0是函數(shù)的極值點(diǎn)，利用函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0，列出方程求出c的值．
（2）將c的值代入導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0求出方程的兩個(gè)根即兩個(gè)極值點(diǎn)，據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷出根 -

2b

3a

與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系，列出不等式組求出

b

a

的范圍．假設(shè)存在，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，列出方程，通過判斷判別式的符號(hào)得到結(jié)論．
（3）設(shè)出f（x）的三個(gè)零點(diǎn)，寫出f（x）的利用三個(gè)根不是的解析式，將x=2代入，利用韋達(dá)定理求出A，C的距離，據(jù)（2）求出|AC|的最值．

解答：解：（1）由條件可知f（x）在區(qū)間[-1，0]和[0，2]上有相反的單調(diào)性，
∴x=0是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，
∴f′（0）=0
而f′（x）=3ax²+2bx+c，
故c=0．
（2）令f′（x）=0，則3ax²+2bx=0，
解得 x1=0，x2=-

2b

3a

．
又f（x）在區(qū)間[0，2]和[4，5]上有相反的單調(diào)性，
得

- 2b 3a ≥2 - 2b 3a ≤4

解得 -6≤

b

a

≤-3．
假設(shè)存在點(diǎn)M（x₀，y₀），使得f（x）在點(diǎn)M處的切線斜率為3b，則f'（x₀）=3b 即3a

x

2 0

+2bx0-3b=0所以△=4ab(

b

a

+9)
∵-6≤

b

a

≤-3∴ab＜0，

b

a

+9＞0，∴△＜0，x₀無解
故不存在點(diǎn)M（x₀，y₀），使得f（x）在點(diǎn)M處的切線斜率為3b
（3）設(shè)A（α，0），C（β，0），
則由題意可令f（x）=a（x-α）（x-2）（x-β）=a[x³-（2+α+β）x²+（2α+2β+αβ）x-2αβ]…（2分）
則

b=-a(2+α+β) d=-2aαβ

，解得

α+β=- b a -2 αβ=- d 2a

又∵函數(shù)f（x）的圖象交x軸于B（2，0），
∴f（2）=0即8a+4b+d=0
∴d=-4（b+2a），
αβ=4+

2b

a

從而 |AC|=|α-β|=

(α+β)2-4αβ

=

( b a -2)2-16

∵-6≤

b

a

≤-3
∴當(dāng)

b

a

=-6時(shí)，|AC|_max=4

3

；當(dāng)

b

a

=-3時(shí)，|AC|_min=3．
所以3≤|AC|≤4

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查極值點(diǎn)處的函數(shù)值為0，極值點(diǎn)左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)符號(hào)相反；解決二次方程的根的問題常用到韋達(dá)定理．