Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時, 求曲線的極值;

（2）求函數(shù)的單調區(qū)間;

（3）若對任意及時, 恒有成立, 求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）極小值為.（2）詳見解析（3）

【解析】

試題分析：（1）先求函數(shù)導數(shù)，再求導函數(shù)在定義區(qū)間上零點。列表分析導函數(shù)符號變化規(guī)律得函數(shù)極值（2）由導函數(shù)為零點得，根據(jù)零點是否在定義區(qū)間上，以及兩個零點大小關系，分類討論導函數(shù)符號變化規(guī)律，確定對應單調區(qū)間：共分四種情況，，，（3）多變量不等式恒成立問題，一般方法仍為變量分離法，先分離x得,即；再分離m得的最小值

試題解析：（1）函數(shù)的定義域為,當時,, 解得(舍去),, 在上遞減, 在上遞增, 所以的極小值為.

（2）,令可得.

①當時, 由可得在上單調遞減, 由可得在上單調遞增.

②當時, 由可得在上單調遞減, 由可得得在和上單調遞增.

③當時, 由可得在上單調遞增.

④當時, 由可得在上單調遞減, 由可得得在和上單調遞增.

（3）由題意可知, 對時, 恒有成立, 等價于,

由（2）知, 當時, 在上單調遞增,, 所以原題等價于時, 恒有成立, 即.在時, 由,故當時,

恒成立,.