Question

【題目】已知，.

（I）若，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（II）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（III）令，（是自然對數(shù)的底數(shù)），求當(dāng)實(shí)數(shù)等于多少時(shí)，可以使函數(shù)取得最小值為3.

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）.

【解析】

試題分析：（I）當(dāng)時(shí)，，，，.由點(diǎn)斜式可得切線方程為；（II）函數(shù)在上是增函數(shù)，導(dǎo)數(shù)恒為非負(fù)數(shù)，分離參數(shù)得在上恒成立.利用基本不等式求得右邊函數(shù)最小值為，所以；（III），，對分成，且，且三種情況討論最值的情況，進(jìn)而求得.

試題解析：

（I）當(dāng)時(shí)，，∴，∴，，

∴函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.

（II）函數(shù)在上是增函數(shù)，

∴在上恒成立，

即在上恒成立.

令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”號.

∴，

∴的取值范圍為.

（III）∵，∴.

（1）當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，

，（舍去）.

（2）當(dāng)且時(shí)，，在上恒成立，

∴在上單調(diào)遞減，∴，，（舍去）.

（3）當(dāng)且時(shí)，，令，則，令，則，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴，∴滿足條件.

綜上所述，當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，使的最小值為3.