Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，對?n∈N^*總有a_n+1=3a_n+2成立，
（1）計算a₂，a₃，a₄的值；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果猜想數(shù)列的通項a_n，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點：數(shù)學(xué)歸納法

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用已知條件通過n=2，3，4，直接計算a₂，a₃，a₄的值，
（2）根據(jù)（Ⅰ）的計算結(jié)果，猜想的通{a_n}項公式，用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟直接證明即可．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時，a₂=3×2+2=8；…（2分）
當(dāng)n=2時，a₃=3×8+2=26；…（4分）
當(dāng)n=3時，a₄=3×26+2=80；…（6分）
（2）結(jié)論：an=3n+1-1…（8分）
證明：1°當(dāng)n=1時，a1=2=31-1-1顯然成立；…（9分）
2°假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時成立，即ak=3k+1-1．
則當(dāng)n=k+1時，an=ak+1=3ak+2=3(3k+1-1)+2=3(k+1)+1-1，
所以，當(dāng)n=k+1時也成立，…（13分）
綜合1°2°，可知，對任意n∈N^*，總有an=3n+1-1成立．  …（14分）

點評：本題考查數(shù)列遞推關(guān)系式以及通項公式的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的證明方法的應(yīng)用，考查計算能力與邏輯推理能力．