Question

12．已知$sinx+siny=\frac{1}{3}$，求μ=siny+cos²x的最值．

Answer 1

分析 由題意得siny=$\frac{1}{3}$-sinx且siny=$\frac{1}{3}$-sinx∈[-1，1]，得到sinx的取值范圍，把所求的式子配方利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最值．

解答 解：由已知條件有siny=$\frac{1}{3}$-sinx且siny=$\frac{1}{3}$-sinx∈[-1，1]（結(jié)合sinx∈[-1，1]）
得-$\frac{2}{3}$≤sinx≤1，
而μ=siny+cos²x=$\frac{1}{3}$-sinx+cos²x═$\frac{4}{3}$-sin²x-sinx，
令t=sinx（-$\frac{2}{3}$≤t≤1），
則原式=-t²-t+$\frac{4}{3}$=-${（t+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{19}{12}$，（-$\frac{2}{3}$≤t≤1）
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得：
當(dāng)t=-$\frac{1}{2}$即sinx=-$\frac{1}{2}$時(shí)，原式取得最大值$\frac{19}{12}$，
當(dāng)t=1即sinx=1時(shí)，原式取得最小值-$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的有界性，二次函數(shù)的性質(zhì)，求sinx的取值范圍是易錯(cuò)點(diǎn)．