Question

5．已知函數(shù)f（x）=x-alnx，g（x）=-$\frac{1+a}{x}$（a＞0）
（1）若a=l，求f（x）的極值；
（2）若存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為[f（x）-g（x）]_min＜0，（x∈[1，e]）成立，設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=x-alnx+$\frac{1+a}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）a=1時(shí)，f（x）=x-lnx，
函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
故f（x）的極小值是f（1）=1，無極大值；
（2）存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，
等價(jià)于[f（x）-g（x）]_min＜0，（x∈[1，e]）成立，
設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=x-alnx+$\frac{1+a}{x}$，
則h′（x）=$\frac{（x+1）（x-1-a）}{{x}^{2}}$，
令h′（x）=0，解得：x=-1（舍），x=1+a；
①當(dāng)1+a≥e，h（x）在[1，e]遞減，
∴h（x）_min=h（e）=e²-ea+1+a，
令h（x）_min＜0，解得：a＞$\frac{{e}^{2}+1}{e-1}$；
②當(dāng)1+a＜e時(shí)，h（x）在（1，a+1）遞減，在（a+1，e）遞增，
∴h（x）_min=h（1+a）=a[1-ln（a+1）]+2＞2與h（x）_min＜0矛盾，
綜上，a＞$\frac{{e}^{2}+1}{e-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．