如圖，在Rt△AOB中，∠OAB=
π6
，斜邊AB=4．Rt△AOC可以通過(guò)Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B-AO-C是直二面角．動(dòng)點(diǎn)D在斜邊AB上．
（1）求證：平面COD⊥平面AOB；
（2）設(shè)CD與平面AOB所成角的最大值為α，求tanα值．
分析：（1）利用二面角的定義、線面與面面垂直的判定與性質(zhì)即可得出；
（2）利用線面角的定義及其含30°角的直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．
解答：證明：（1）由已知CO⊥AO，BO⊥AO，
∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角，
∴∠BOC=
π
2
，∴OC⊥OB．
∵OA∩OB=O，∴OC⊥平面AOB，
∴平面COD⊥平面AOB；
（2）由（1）可知CO⊥平面OAB，∴∠CDO是CD與平面AOB所成的角．
∴tan∠CDO=
CO
OD
，
∵OC=OB=2，
∴當(dāng)OD⊥AB時(shí)，OD取得最小值=OB•sin60°=
3
，此時(shí)∠CDO取得最大值α，
且tanα=
2
3
=
2
3
3
．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握二面角的定義、線面與面面垂直的判定與性質(zhì)、線面角的定義及其含30°角的直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在Rt△AOB中，∠OAB=
π6
，斜邊AB=4．Rt△AOC可以通過(guò)Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B-AO-C是直二面角．動(dòng)點(diǎn)D在斜邊AB上．
（Ⅰ）求證：平面COD⊥平面AOB；
（Ⅱ）當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線AO與CD所成角的余弦值大小；
（Ⅲ）求CD與平面AOB所成角最大時(shí)的正切值大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在Rt△AOB中，∠OAB=
π6
，斜邊AB=4．Rt△AOC可以通過(guò)Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B-AO-C為直二面角．D是AB的中點(diǎn)．
（I）求證：平面COD⊥平面AOB；
（II）求異面直線AO與CD所成角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在 Rt△AOB中，∠OAB=
π6
，斜邊AB=4，D是AB的中點(diǎn)．現(xiàn)將 Rt△AOB以直角邊AO為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐體，點(diǎn)C為圓錐體底面圓周上的一點(diǎn)，且∠BOC=90°．
（1）求異面直線AO與CD所成角的大��；
（2）若某動(dòng)點(diǎn)在圓錐體側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，試求該動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)C出發(fā)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D所經(jīng)過(guò)的最短距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•普陀區(qū)一模）如圖，在 Rt△AOB中，∠OAB=
π6
，斜邊AB=4，D是AB的中點(diǎn)．現(xiàn)將 Rt△AOB以直角邊AO為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐體，點(diǎn)C為圓錐體底面圓周上的一點(diǎn)，且∠BOC=90°．
（1）求該圓錐體的體積；
（2）求異面直線AO與CD所成角的大�。�

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