【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)時,試判斷函數(shù)的單調(diào)性;

(2)若,求證:函數(shù)上的最小值小于.

【答案】(1) 函數(shù)上單調(diào)遞増(2)見解析

【解析】試題分析:1)第(1)問,直接求導(dǎo),再利用二次求導(dǎo)求函數(shù)的單調(diào)性. (2)第(2)問,對a分類討論,再利用導(dǎo)數(shù)求出求每一種情況下函數(shù)的單調(diào)性,從而證明函數(shù)上的最小值小于.

試題解析:

(1)由題可得

設(shè),則

所以當(dāng), 上單調(diào)遞增,

當(dāng), 上單調(diào)遞減,

所以,因?yàn)?/span>,所以,即,

所以函數(shù)上單調(diào)遞増.

(2)由(1)知上單調(diào)遞増,

因?yàn)?/span>,所以,

所以存在,使得,即,即,

所以函數(shù)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞増,所以當(dāng)

,則恒成立,

所以函數(shù)上單調(diào)遞減,所以,

所以,即當(dāng),

故函數(shù)上的最小值小于.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)時,求的最小值.

(Ⅱ)若在區(qū)間上有兩個極值點(diǎn)

(i)求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(ii)求證:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某車間有5名工人其中初級工2人,中級工2人,高級工1現(xiàn)從這5名工人中隨機(jī)抽取2名.

求被抽取的2名工人都是初級工的概率;

求被抽取的2名工人中沒有中級工的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】省環(huán)保廳對、三個城市同時進(jìn)行了多天的空氣質(zhì)量監(jiān)測,測得三個城市空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的數(shù)據(jù)共有180個,三城市各自空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的數(shù)據(jù)個數(shù)如下表所示:

優(yōu)(個)

28

良(個)

32

30

已知在這180個數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個,恰好抽到記錄城市空氣質(zhì)量為優(yōu)的數(shù)據(jù)的概率為0.2.

(1)現(xiàn)按城市用分層抽樣的方法,從上述180個數(shù)據(jù)中抽取30個進(jìn)行后續(xù)分析,求在城中應(yīng)抽取的數(shù)據(jù)的個數(shù);

(2)已知, ,求在城中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)大于空氣質(zhì)量為良的天數(shù)的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的離心率,且橢圓與圓的4個交點(diǎn)恰為一個正方形的4個頂點(diǎn).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)已知點(diǎn)為橢圓的下頂點(diǎn), 為橢圓上與不重合的兩點(diǎn),若直線與直線的斜率之和為,試判斷是否存在定點(diǎn),使得直線恒過點(diǎn),若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了解市高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考情況,該市教研機(jī)構(gòu)組織了一次檢測考試,并隨機(jī)抽取了部分高三理科學(xué)生數(shù)學(xué)成績繪制如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計該市此次檢測理科數(shù)學(xué)的平均成績;(精確到個位)

(2)研究發(fā)現(xiàn),本次檢測的理科數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布, 約為19.3).

按以往的統(tǒng)計數(shù)據(jù),理科數(shù)學(xué)成績能達(dá)到升一本分?jǐn)?shù)要求的同學(xué)約占,據(jù)此估計本次檢測成績達(dá)到升一本的理科數(shù)學(xué)成績大約是多少分?(精確到個位)

已知市理科考生約有1000名,某理科學(xué)生此次檢測數(shù)學(xué)成績?yōu)?07分,則該學(xué)生全市排名大約是多少名?

(說明: 表示的概率, 用來將非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,即,從而利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表,求時的概率,這里.相應(yīng)于的值是指總體取值小于的概率,即.參考數(shù)據(jù): , , ).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù))

(1)判斷函數(shù)極值點(diǎn)的個數(shù),并說明理由;

(2)若 ,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知點(diǎn), 為橢圓:上異于點(diǎn)A,B的任意一點(diǎn).

Ⅰ)求證:直線的斜率之積為-;

Ⅱ)是否存在過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),使得?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,正方體的棱長為4,M為底面ABCD兩條對角線的交點(diǎn),P為平面內(nèi)的動點(diǎn),設(shè)直線PM與平面所成的角為,直線PD與平面所成的角為,則動點(diǎn)P的軌跡長度為______

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