Question

已知函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)＋ax.

(1)當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若存在x∈[1,2]，使不等式f′(x)≥2x成立，其中f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

Answer 1

(1)f′(x)＝＋a

由f′(0)＝0，得a＝－1，此時(shí)f′(x)＝－1.

當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，f′(x)>0，

函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,0)上單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，

函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減；

∴函數(shù)f(x)在x＝0處取得極大值，故a＝－1.

(2)∵f′(x)≥2x，∴＋a≥2x，∴a≥2x－.

令g(x)＝2x－(1≤x≤2)，

∴g′(x)＝2＋>0，

∴g(x)在[1,2]上是增函數(shù)，

∴a≥g(1)＝.

(3)∵f′(x)＝＋a.

>0，

∴當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上是增函數(shù).

當(dāng)a<0時(shí)，令f′(x)＝0，得x＝－－1；

當(dāng)x∈(－1，－－1)時(shí)，f′(x)>0，

當(dāng)x∈(－－1，＋∞)時(shí)，f′(x)<0；

綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－1，＋∞)；

當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－1，－－1)，單調(diào)遞減區(qū)間是

(－－1，＋∞).