Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x²+（y-4）²=4，點A是x軸上的一個動點，直線AP，AQ分別切圓C于P，Q兩點，則線段PQ長的取值范圍為[2$\sqrt{3}$，4]．

Answer 1

分析 設(shè)A（a，0），則以AC為直徑的圓為x²+y²-ax-4y=0，與圓C的方程相減，得PQ所在直線的方程為ax-4y+12=0，求出圓心C（0，4）到直線：ax-4y+12=0的距離d，由|PQ|=2$\sqrt{4-engzwv3^{2}}$，能求出線段PQ長的取值范圍．

解答 解：設(shè)A（a，0），則以AC為直徑的圓的直徑式方程為（x-0，y-4）•（x-a，y-0）=0，
即x²+y²-ax-4y=0，
與圓C的方程x²+（y-4）²=4，即x²+y²-8y+12=0相減，得ax-4y+12=0，
∴PQ所在直線的方程為ax-4y+12=0，
設(shè)圓心C（0，4）到直線：ax-4y+12=0的距離為d，
則|PQ|=2$\sqrt{4-xwkm7qt^{2}}$=2$\sqrt{4-（\frac{|0-16+12|}{\sqrt{{a}^{2}+16}}）^{2}}$=2$\sqrt{4-\frac{16}{{a}^{2}+16}}$，
∴a=0，即A是原點時，|PQ|_min=2$\sqrt{3}$，
當(dāng)點A在x軸上無限遠時，PQ接近于直徑4，
∴線段PQ長的取值范圍為[2$\sqrt{3}$，4）．
故答案為：[2$\sqrt{3}$，4）．

點評 本題考查線段長的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質(zhì)、點到直線的距離公式的合理運用．