Question

正方體AC₁中，E、F分別是AB、BB₁的中點(diǎn)，則A₁E與C₁F所成的角的余弦值是（　�。�

• A．

  1

  2

• B．

  2

  5

• C．

  2

  2

• D．

  21

  5

Answer 1

分析：先建立空間直角坐標(biāo)系以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC為x軸，DA為y軸，DD₁為z軸，規(guī)定棱長(zhǎng)為1，再求出A₁E與C₁F直線所在的向量坐標(biāo)，然后根據(jù)向量的夾角公式求出夾角的余弦值即可．

解答：解：以DC為x軸，DA為y軸，DD₁為z軸；建立空間直角坐標(biāo)系，
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，棱長(zhǎng)為1．
可得A（0，1，0），B（1，1，0），B₁（1，1，1），
C₁（1，0，1）．A₁（0，1，1）．
∴E（

1

2

，1，0），F(xiàn)（1，1，

1

2

），
可得

A1E

=（

1

2

，0，-1），

C1F

=（0，1，-

1

2

）．
∴

A1E

•

C1F

=0+0+

1

2

=

1

2

，∴|

A1E

|=

5

2

，|

C1F

|=

5

2

．
設(shè)A₁E與C₁F所成的角為θ，
則cosθ=

A1E •  C1F

| A1E |•| C1F |

=

1 2

5 2 × 5 2

=

2

5

，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查異面直線所成的角，以及空間向量，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于
中檔題．