Question

5．已知雙曲線C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±$\frac{1}{2}$x，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由雙曲線的方程分析可得其焦點在x軸上，進而可得漸近線方程，結(jié)合題意可得有$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2b，由雙曲線的幾何性質(zhì)分析可得c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$a，由離心率的計算公式可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1，其焦點在y軸上，其漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
又由其漸近線方程為y=±$\frac{1}{2}$x，
則有$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，即b=2a，
c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
則其離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$；
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，涉及雙曲線的漸近線、離心率的計算，關(guān)鍵是求a，c的關(guān)系，注意分析雙曲線的焦點的位置．