Question

8．為推行“新課堂”教學(xué)法，某地理老師分別用傳統(tǒng)方法和“新課堂”兩種不同的教學(xué)方法，在甲、乙兩個平行班級進行教學(xué)實驗，為了比較教學(xué)效果，期中考試后，分別從兩個班級中各隨機抽取20名學(xué)生的成績進行統(tǒng)計，結(jié)果如下表：記成績不低于70分者為“成績優(yōu)良”．

分數(shù)	[50，59）	[60，69）	[70，79）	[80，89）	[90，100）
甲班頻數(shù)	5	6	4	4	1
乙班頻數(shù)	1	3		6	5

（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為“成績優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”？

	甲班	乙班	總計
成績優(yōu)良
成績不優(yōu)良
總計

附：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+c）（b+d）（a+b）（c+d）}$，（n=a+b+c+d）
臨界值表：

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010
k0	2.706	3.841	5.024	6.635

（2）先從上述40人中，學(xué)校按成績是否優(yōu)良采用分層抽樣的方法抽取8人進行考核，在這8人中，記成績不優(yōu)良的乙班人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）利用頻數(shù)與頻率，求解兩個班的成績，得到2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求出K²的觀測值，判斷即可．
（2）由表可知在8人中成績不優(yōu)良的人數(shù)為$\frac{15}{40}×8=3$，則X的可能取值為0，1，2，3，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．

解答 解：（1）

	甲班	乙班	總計
成績優(yōu)良	9	16	25
成績不優(yōu)良	11	4	15
總計	20	20	40

根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得K²的觀測值為$k=\frac{{40{{（9×4-16×11）}^2}}}{25×15×20×20}≈5.227＞5.024$，
∴能在犯錯概率不超過0.025的前提下認為“成績優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”．
（2）由表可知在8人中成績不優(yōu)良的人數(shù)為$\frac{15}{40}×8=3$，則X的可能取值為0，1，2，3，$P（X=0）=\frac{{C_{11}^3}}{{C_{15}^3}}=\frac{33}{91}$，$P（X=1）=\frac{{C_{11}^2C_4^1}}{{C_{15}^3}}=\frac{44}{91}$，$P（X=2）=\frac{{C_{11}^1C_4^2}}{{C_{15}^3}}=\frac{66}{455}$，$P（X=0）=\frac{C_4^3}{{C_{15}^3}}=\frac{4}{455}$．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{33}{91}$	$\frac{44}{91}$	$\frac{66}{455}$	$\frac{4}{455}$

∴$E（X）=0×\frac{33}{99}+1×\frac{44}{99}+2×\frac{66}{455}+3×\frac{4}{455}=\frac{364}{455}$=$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查離散性隨機變量的分布列以及期望的求法，獨立檢驗的應(yīng)用，考查計算能力．