Question

【題目】某中學(xué)旅游局欲將一塊長20百米，寬10百米的矩形空地ABCD建成三星級(jí)鄉(xiāng)村旅游園區(qū)，園區(qū)內(nèi)有一景觀湖EFG（如圖中陰影部分）以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，O為園區(qū)正門，園區(qū)北門P在y正半軸上，且PO=10百米。景觀湖的邊界線符合函數(shù)的模型。

（1）若建設(shè)一條與AB平行的水平通道，將園區(qū)分成面積相等的兩部分，其中湖上的部分建成玻璃棧道，求玻璃棧道的長度。

（2）若在景觀湖邊界線上一點(diǎn)M修建游船碼頭，使得碼頭M到正門O的距離最短，求此時(shí)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

（3）設(shè)圖中點(diǎn)B為倉庫所在地，現(xiàn)欲在線段OB上確定一點(diǎn)Q建貨物轉(zhuǎn)運(yùn)站，將貨物從點(diǎn)B經(jīng)Q點(diǎn)直線轉(zhuǎn)運(yùn)至點(diǎn)P(線路PQ不穿過景觀湖)，使貨物轉(zhuǎn)運(yùn)距離QB+PQ最短，試確定點(diǎn)P的位置。

Answer 1

【答案】（1）玻璃棧道的長度為3百米．

（2）.

(3) 當(dāng)點(diǎn)在線段上且與點(diǎn)O的距離為百米時(shí)，最短．

【解析】

分析：（1）根據(jù)題意，建立相應(yīng)的等量關(guān)系式，求得結(jié)果；

（2）利用兩點(diǎn)間的距離公式，列出對(duì)應(yīng)的式子，之后應(yīng)用基本不等式求得最值；

（3）將兩條線段的長度和化為關(guān)于坐標(biāo)的關(guān)系式，結(jié)合性質(zhì)，求得最值.

詳解：（1）令，即，解得：或4，

則玻璃棧道的長度，

∴玻璃棧道的長度為3百米．

（2）設(shè)，其中，

則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)．

∴取最小值時(shí)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

（3）設(shè)，

∵在軸正半軸上，且PO=10 ∴ 又∵

∴在上單調(diào)減

∴點(diǎn)越靠近點(diǎn)，越短．

∵路線PQ不穿過景觀湖 ∴當(dāng)直線與邊界曲線相切時(shí)，最短．

設(shè)切點(diǎn)為，由得

∴切線的方程為

∵切線過點(diǎn)，∴，解得：

∴切線方程為：．

令，得，即點(diǎn)在線段上且與點(diǎn)O的距離為百米．

答：當(dāng)點(diǎn)在線段上且與點(diǎn)O的距離為百米時(shí)，最短．