Question

4．定義在區(qū)間I上的函數(shù)f（x），若任給x₀∈I，均有f（x₀）∈I，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上“和諧函數(shù)”．
（1）已知函數(shù)判斷f（x）=-2x+5，在區(qū)間[-1，3]是否“和諧函數(shù)“，并說明理由；
（2）設(shè)g（x）=$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{3}{2}$是[1，b]上的“和諧函數(shù)”，求常數(shù)b的取值范圍；
（3）函數(shù)h（x）=$\frac{2x+m}{x+2}$在區(qū)間[2，3]上“和諧函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）判斷f（x）=-2x+5在R上是減函數(shù)，利用新定義列出不等式求解即可．
（2）g（x）=$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{3}{2}$在[1，+∞）是單調(diào)遞增的，利用新定義列出不等式求解即可．
（3）通過1⁰當(dāng)m=4時(shí)，2⁰當(dāng)m＞4時(shí)，3⁰當(dāng)m＜4時(shí)，利用新定義驗(yàn)證，求解推出m的取值范圍．

解答 （滿分12分）
解：（1）f（x）=-2x+5在R上是減函數(shù)，所以當(dāng)x∈[-1，3]時(shí)f（3）≤y≤f（-1）
即-1≤y≤7，[-1，7]?[-1，3]即該函數(shù)不是和諧函數(shù)-------------------（2分）
（2）g（x）=$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{3}{2}$在[1，+∞）是單調(diào)遞增的，要使它在區(qū)間[1，b]是和諧函數(shù)，
$h（x）=\frac{2x+m}{x+2}=2+\frac{m-4}{x+2}$，
即g（1）=1顯然成立，g（b）≤b，即$\frac{1}{2}$b²-b+$\frac{3}{2}$≤b，即b²-4b+3≤0，所以1≤b≤3------（5分）
（3）1⁰當(dāng)m=4時(shí)，顯然h（x）=2∈[2，3]，滿足題意-------------------（7分）
2⁰當(dāng)m＞4時(shí)，顯然h（x）在[2，3]是減函數(shù)，即h（3）≤h（x）≤h（2）
即$\left\{\begin{array}{l}h（3）=\frac{6+m}{5}≥2\\ h（2）=\frac{4+m}{4}≤3\end{array}\right.$
解得：4＜m≤8-------------------------------------------（9分）
3⁰當(dāng)m＜4時(shí)，顯然h（x）在[2，3]是增函數(shù)，即h（2）≤h（x）≤h（3）
即$\left\{\begin{array}{l}h（3）=\frac{6+m}{5}≤3\\ h（2）=\frac{4+m}{4}≥2\end{array}\right.$
解得：4≤m≤9
顯然這時(shí)m∈ϕ------------------------------------（11分）
綜上所述m的取值范圍是[4，8]-----------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，新定義的應(yīng)用，考查分類討論思想的應(yīng)用．