Question

18．已知M是直線l：x=-1上的動點，點F的坐標是（1，0），過M的直線l′與l垂直，并且l′與線段MF的垂直平分線相交于點N
（Ⅰ）求點N的軌跡C的方程
（Ⅱ）設曲線C上的動點A關于x軸的對稱點為A′，點P的坐標為（2，0），直線AP與曲線C的另一個交點為B（B與A′不重合），直線P′H⊥A′B，垂足為H，是否存在一個定點Q，使得|QH|為定值？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：丨NM丨=丨NF丨，即曲線C為拋物線，焦點坐標為F（1，0），點N的軌跡C的方程y²=4x；
（Ⅱ）設A（$\frac{{a}^{2}}{4}$，a），則A′（$\frac{{a}^{2}}{4}$，-a），直線AB的方程y=$\frac{4a}{{a}^{2}-8}$（x-2），代入拋物線方程，求得B的坐標，A′B的方程為y+a=-$\frac{4a}{8+{a}^{2}}$（x-$\frac{{a}^{2}}{4}$），則令y=0，則x=-2，直線A′B與x軸交于定點T（-2，0），即可求得存在一個定點T（-2，0），使得T，A′，B三點共線，△PHT為直角三角形，并且丨OP丨=丨OT丨，丨OH丨=$\frac{1}{2}$丨TP丨=2，即存在點O（0，0），使得丨OH丨為定值2，則O即為點Q（0，0）．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知：丨NM丨=丨NF丨，即曲線C為拋物線，焦點坐標為F（1，0），
準線方程為l：x=-1，
∴點N的軌跡C的方程y²=4x；

（Ⅱ）設A（$\frac{{a}^{2}}{4}$，a），則A′（$\frac{{a}^{2}}{4}$，-a），
直線AP的斜率k_AP=$\frac{a}{\frac{{a}^{2}}{4}-2}$=$\frac{4a}{{a}^{2}-8}$，
直線AB的方程y=$\frac{4a}{{a}^{2}-8}$（x-2），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=\frac{4a}{{a}^{2}-8}（x-2）}\end{array}\right.$，整理得：ay²-（a²-8）y-8a=0，
設B（x₂，y₂），則ay₂=-8，則y₂=-$\frac{8}{a}$，x₂=$\frac{16}{{a}^{2}}$，
則B（$\frac{16}{{a}^{2}}$，-$\frac{8}{a}$），
又A′（$\frac{{a}^{2}}{4}$，-a），
∴A′B的方程為y+a=-$\frac{4a}{8+{a}^{2}}$（x-$\frac{{a}^{2}}{4}$），
令y=0，則x=-2，
直線A′B與x軸交于定點T（-2，0），
△PHT為直角三角形，并且丨OP丨=丨OT丨，
∴丨OH丨=$\frac{1}{2}$丨TP丨=2，
即存在點O（0，0），使得丨OH丨為定值2，則O即為點Q（0，0）．

點評 本題考查拋物線的定義及標準方程，直線與橢圓的位置關系，直線的斜率及方程，考查計算能力，屬于中檔題．