【題目】函數(shù)f(x)=|x+1|﹣|2﹣x|.
(1)解不等式f(x)<0;
(2)若m,n∈R+ , ,求證:n+2m﹣f(x)>0恒成立.
【答案】
(1)
解:由f(x)<0得f(x)=|x+1|﹣|2﹣x|<0,即|x+1|<|x﹣2|,
平方得x2+2x+1<x2﹣4x+4,即6x<3,
得x< ,即不等式的解集為(﹣∞, ).
(2)
解:∵n+2m+2=n+1+2m+1=(n+1+2m+1)( + )=4+1+ + ≥5+2 =5+4=9,
∴n+2m≥9﹣2=7,當(dāng)且僅當(dāng)+ = ,即n+1=2(2m+1)時(shí)取等號(hào),
∴n+2m的最小值為7,
∵f(x)=|x+1|﹣|2﹣x|≤|x+1+2﹣x|=3,
∴f(x)的最大值為3,
則n+2m>f(x)恒成立,即n+2m﹣f(x)>0恒成立.
【解析】(1)根據(jù)絕對(duì)值不等式的解法進(jìn)行求解即可.(2)根據(jù)基本不等式的性質(zhì),利用1的代換,先求出n+2m的最小值,利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求出f(x)的最大值,進(jìn)行比較即可.
【考點(diǎn)精析】掌握基本不等式是解答本題的根本,需要知道基本不等式:,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào));變形公式:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠有工人1000名,為了提高工人的生產(chǎn)技能,特組織工人參加培訓(xùn).其中250名工人參加過短期培訓(xùn)(稱為類工人),另外750名工人參加過長期培訓(xùn)(稱為類工人).現(xiàn)從該工廠的工人中共抽查了100名工人作為樣本,調(diào)查他們的生產(chǎn)能力(生產(chǎn)能力是指工人一天加工的零件數(shù)),得到類工人生產(chǎn)能力的莖葉圖(圖1),類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖(圖2).
(1)在樣本中求類工人生產(chǎn)能力的中位數(shù),并估計(jì)類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)若規(guī)定生產(chǎn)能力在內(nèi)為能力優(yōu)秀,現(xiàn)以樣本中頻率作為概率,從1000名工人中按分層抽樣共抽取名工人進(jìn)行調(diào)查,請估計(jì)這名工人中的各類人數(shù),完成下面的列聯(lián)表.
若研究得到在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下,認(rèn)為生產(chǎn)能力與培訓(xùn)時(shí)間長短有關(guān),則的最小值為多少?
參考數(shù)據(jù):
參考公式: ,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: + =1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0),且點(diǎn)P(1, )在橢圓C上,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)過定點(diǎn)T(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B,且∠AOB為銳角,求直線l的斜率k的取值范圍;
(3)過橢圓C1: + =1上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P,作圓O:x2+y2= 的兩條切線,切點(diǎn)分別為M,N(M,N不在坐標(biāo)軸上),若直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m、n,證明: + 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,圓O是△ABC的外接圓,∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)F,D是AF的延長線與⊙O的交點(diǎn),AC的延線與⊙O的切線DE交于點(diǎn)E.
(1)求證: =
(2)若BD=3 ,EC=2,CA=6,求BF的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知.
(1)若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等比數(shù)列{an}滿足an+1+an=104n﹣1(n∈N*),數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn , 且bn=log2an .
(1)求bn , Sn;
(2)設(shè)cn= ,證明: + +…+ < Sn+1(n∈N*).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)證明:當(dāng)時(shí), ;
(3)確定實(shí)數(shù)的值,使得存在當(dāng)時(shí),恒有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)D在△ABC的BC邊上,且∠DAC=90°,cosC= ,AB=6,BD= ,則ADsin∠BAD= .
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