Question

10．已知向量$\overrightarrow a=（cosα，sinα）$，$\overrightarrow b=（cosβ，sinβ）$，且$α-β=\frac{2π}{3}$，則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow a+\overrightarrow b$的夾角為（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 設(shè)向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，根據(jù)向量的夾角公式公式計(jì)算即可．

解答 解：∵向量$\overrightarrow a=（cosα，sinα）$，$\overrightarrow b=（cosβ，sinβ）$，且$α-β=\frac{2π}{3}$，設(shè)向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ
∴$\overrightarrow a$•（$\overrightarrow a+\overrightarrow b$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1+cosθ，
|$\overrightarrow a+\overrightarrow b$|²=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=2+2cosθ，
∴cos＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow a+\overrightarrow b$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}{\overrightarrow{|a|}•|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}$=$\frac{1+cosθ}{2+2cosθ}$=$\frac{1}{2}$，
∵夾角的范圍0～π，
∴$\overrightarrow a$與$\overrightarrow a+\overrightarrow b$的夾角$\frac{π}{3}$．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題