已知函數(shù),,其中的函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸.
(1)確定與的關(guān)系; (2)若,試討論函數(shù)的單調(diào)性;
(3)設(shè)斜率為的直線與函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)()證明:.
(1);(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增.(3)詳見解析。
【解析】
試題分析:(1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,即可得與的關(guān)系。(2)先求導(dǎo)數(shù),及其零點(diǎn),判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào),即可得原函數(shù)增減變化,注意分類討論。(3)由可得。然后分別證明不等式的左右兩側(cè),兩側(cè)不等式的證明均需構(gòu)造函數(shù),再利用函數(shù)的單調(diào)性證明。
試題解析:【解析】
(1)依題意得,則
由函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸得:
∴ 4分
(2)由(1)得
∵函數(shù)的定義域?yàn)?/span>
①當(dāng)時(shí),
由得,由得,
即函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;
②當(dāng)時(shí),令得或,
若,即時(shí),由得或,由得,
即函數(shù)在,上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;
若,即時(shí),由得或,由得,即函數(shù)在,上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;
若,即時(shí),在上恒有,即函數(shù)在上單調(diào)遞增.
綜上得:當(dāng)時(shí),函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),函數(shù)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增.
9分
(3)依題意得,證,即證
因,即證. 令(),即證()
令(),則
∴在(1,+)上單調(diào)遞增,
∴=0,即()①
再令m(t)=lnt t+1,= 1<0, m(t)在(1,+∞)遞減,
∴m(t)<m(1)=0,即lnt<t 1 ②
綜合①②得(),即. 14分
考點(diǎn):1導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義;2用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性;3用單調(diào)性證明不等式。
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已知隨機(jī)變量X~B(6,),則P(-2≤X≤5.5)=( )
(A) (B) (C) (D)
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已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球,乙盒內(nèi)有大小相同的2個(gè)紅球和4個(gè)黑球,現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球.設(shè)ξ為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù),則P(ξ=2)= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高中數(shù)學(xué)全國(guó)各省市理科導(dǎo)數(shù)精選22道大題練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù) , .
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),函數(shù)在上的最大值為,若存在,使得成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
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已知(,是常數(shù)),若對(duì)曲線上任意一點(diǎn)處的切線,恒成立,求的取值范圍.
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已知都是正數(shù),且,則的最小值為 .
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某產(chǎn)品在某零售攤位上的零售價(jià)x(元)與每天的銷售量y(個(gè))統(tǒng)計(jì)如下表:據(jù)上表可得回歸直線方程=b+a中的b=-4,據(jù)此模型預(yù)計(jì)零售價(jià)定為15元時(shí),銷售量為 ( )
A.48 B.49 C.50 D.51
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在數(shù)列中,已知,,記為數(shù)列的前項(xiàng)和,則 .
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已知a,b,c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,若a2=b2+c2-bc,=+,則tan B的值等于________.
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