Question

10．圓心在直線2x-y-7=0上的圓C與y軸交于兩點A（0，-4），B（0，-2）
（1）求圓C的方程；
（2）若直線l：kx-y+k=0與圓C相切，求實數(shù)k的值；
（3）求圓C關(guān)于l₁：y=2x+1對稱的圓．

Answer 1

分析 （1）由垂徑定理確定圓心所在的直線，再由條件求出圓心的坐標，根據(jù)圓的定義求出半徑即可．
（2）由圓心（2，-3）到直線l的距離d，滿足d²=r²，求解
（3）求出圓心C關(guān)于關(guān)于l₁：y=2x+1對稱的點為M（a，b）即為所求圓圓心，半徑不變

解答 解：（1）∵圓C與y軸交于A（0，-4），B（0，-2），
∴由垂徑定理得圓心在y=-3這條直線上．
又∵已知圓心在直線2x-y-7=0上，∴聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-3}\\{2x-y-7=0}\end{array}\right.$，解得x=2，
∴圓心C為（2，-3），
∴半徑r=|AC|=$\sqrt{（0-2）^{2}+（-4+3）^{2}}=\sqrt{5}$．
∴所求圓C的方程為（x-2）²+（y+3）²=5．
（2）若直線l：kx-y+k=0與圓C相切，則圓心（2，-3）到直線l的距離d，滿足d²=r²，
即$\frac{（3+3k）^{2}}{1+{k}^{2}}=5$，即k=$\frac{-9±\sqrt{65}}{4}$；
（3）設(shè)圓心C關(guān)于關(guān)于l₁：y=2x+1對稱的點為M（a，b）
則有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-3}{2}=2×\frac{a+2}{2}+1}\\{\frac{b+3}{a-2}=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{22}{5}}\\{b=\frac{1}{5}}\end{array}\right.$，
∴圓C關(guān)于l₁：y=2x+1對稱的圓方程為：（x+$\frac{22}{5}$）²+（y-$\frac{1}{5}$）²=5

點評 本題考查了圓的方程、直線與相切的判定、圓的對稱性問題，屬于中檔題．