【題目】如圖,在梯形中,,,,四邊形是菱形,.

(Ⅰ)求證:;

(Ⅱ)求二面角的平面角的正切值.

【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析;(Ⅱ).

【解析】試題分析:

()由勾股定理可得,結(jié)合面面垂直的性質(zhì)有.由菱形的性質(zhì)可得平面,.

()的中點(diǎn),連接,以、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,據(jù)此計(jì)算可得平面的法向量,平面的法向量.

則二面角的平面角的余弦值,正切值為.

試題解析:

()依題意,在等腰梯形中,,,

,

,而,.

連接∵四邊形是菱形,∴,

,,.

()的中點(diǎn),連接,因?yàn)樗倪呅?/span>是菱形,且.

所以由平面幾何易知,.

故此可以、、分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系,各點(diǎn)的坐標(biāo)依次為:,,,,.

設(shè)平面和平面的法向量分別為,,

.

∴由 ,令,則,

同理,求得.

,故二面角的平面角的正切值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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