如圖,在由圓O:x2+y2=1和橢圓C:數(shù)學(xué)公式=1(a>1)構(gòu)成的“眼形”結(jié)構(gòu)中,已知橢圓的離心率為數(shù)學(xué)公式,直線l與圓O相切于點(diǎn)M,與橢圓C相交于兩點(diǎn)A,B.
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在直線l,使得數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式=數(shù)學(xué)公式,若存在,求此時(shí)直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

解:(1)∵橢圓C:=1(a>1)的離心率為,

解得:a2=3,所以所求橢圓C的方程為         
(2)假設(shè)存在直線l,使得=,
當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),不符合題意,故設(shè)直線l方程為y=kx+b,
由直線l與圓O相切,可得b2=k2+1 
代入橢圓C的方程為,可得(1+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0
設(shè)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則
==
由(1)(2)可得k2=1,b2=2
故存在直線l,方程為,使得=
分析:(1)根據(jù)橢圓C:=1(a>1)的離心率為,可得a2=3,從而可求橢圓C的方程;
(2)假設(shè)存在直線l,使得=,當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),不符合題意,故設(shè)直線l方程為y=kx+b,由直線l與圓O相切,可得b2=k2+1,代入橢圓C的方程為,可得(1+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0
設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),進(jìn)而利用=,即可知存在直線l.
點(diǎn)評(píng):本題以橢圓的幾何性質(zhì)為載體,考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查向量知識(shí)的運(yùn)用,同時(shí)考查了存在性問(wèn)題,合理運(yùn)用向量的數(shù)量積運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在由圓O:x2+y2=1和橢圓C:
x2
a2
+y2
=1(a>1)構(gòu)成的“眼形”結(jié)構(gòu)中,已知橢圓的離心率為
6
3
,直線l與圓O相切于點(diǎn)M,與橢圓C相交于兩點(diǎn)A,B.
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在直線l,使得
OA
OB
=
1
2
OM
2
,若存在,求此時(shí)直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在直線l,使得,若存在,求此時(shí)直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在直線l,使得=,若存在,求此時(shí)直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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